Частица в центральном поле

Частица в центральном поле

Центрально-симметричным называется силовое поле с потенциальной энергией, зависящей только от расстояния до некоторого центра Центр удобно взять в качестве начала координат: U = U(r)

Сила, действующая на частицу в таком поле, направлена по радиусу. Поэтому при движении классической частицы сохраняется не только полная механическая энергия, но и момент импульса. В силу принципа соответствия следует ожидать появления тех же

интегралов движения и в квантовой механике.

Для изучения стационарных состояний нужно решить уравнение Шредингера (8.4) для движения в центральном силовом поле. Симметрия поля подсказывает, что следует воспользоваться сферическими координатами:

где гамильтониан имеет вид

(10.4)

Если внимательно рассмотреть формулы (10.3), (10.5) и (10.14), то нетрудно установить, что операторы H, L 2 и Lz коммутируют друг с другом. Отсюда следует, что существуют

стационарные состояния, в которых одновременно заданы энергия, момент импульса и его проекция на некоторую ось, принятую за ось Oz.

Уравнение (10.14) допускает разделение переменных. Ищем волновую функцию в виде произведения радиального и углового множителей:

После подстановки получаем уравнение

Умножим его на -2mr 2 и разделим на RY. Уравнение примет вид

Правая и левая части этого равенства есть функции разных независимых переменных, поэтому они должны быть равны одной и той же постоянной величине. Обозначим ее через λ. Теперь исходное уравнение Шредингера распадется на два уравнения

Первое из них есть уравнение для собственных функций и собственных значений оператора квадрата момента импульса. Его решение нам известно. Используя данные предыдущего пункта, заключаем, что угловая часть волновой функции ψ(r, θ, φ) выражается одной из сферических функций Y lm (θ, φ), a λ = ћ 2 l (l+l).

Учитывая значения λ, запишем второе уравнение в виде

Это уравнение называется радиальным. Для его предварительного анализа сделаем подстановку:

Новая искомая радиальная функция g (r) удовлетворяет уравнению

(10.18)

Оно по форме совпадает с одномерным уравнением Шредингера для движения частицы в поле с эффективным потенциалом:

(10.19)

Дальнейшее решение задачи о движении частицы в центрально- симметричном поле требует знания вида потенциала U (г).

Читайте также:  Как поменять голос алисы на другой

Соберем воедино все найденные сведения по вопросу о движении частицы в центральном поле:

1) Возможны стационарные состояния с определенными значениями энергии, момента импульса и его проекции на ось Oz.

2) Указанные состояния различаются квантовыми числами l и m, определяющими момент импульса частицы и его проекцию.

3) Энергия стационарного состояния зависит от конкретного вида центрального поля и должна быть определена вместе с радиальным множителем в формуле (10.15) в процессе решения уравнения (10.16) или (10.18).

Полезно заметить, что эти выводы справедливы для любого постоянного тилового поля с центральной симметрией. Далее их используем для решения конкретной задачи об атоме водорода, задаваясь для радиального уравнения кулоновским потенциалом:

.

Рассмотрим движение частицы в центральном поле вида U(r) = ,

Где a – константа, которая может быть положительной, либо отрицательной. Положительная константа отвечает случаю отталкивания частицы от силового центра(например, кулоновской силе отталкивания), отрицательная константа – случаю притяжения частицы к центру(кулоновской силе притяжения или силе гравитационного взаимодействия частицы с неподвижной частицей, помещающейся в центре поля)

Векторное произведение перпендикулярно к плоскости, в которой лежат перемножаемые векторы. Отсюда следует, что при неизменном направлении вектора М вектор r всегда лежит в одной плоскости, перпендикулярной к М, и траектория частицы является плоской кривой. Будем определять положение частицы с помощью полярных координат r и φ, совместив начало координат с центром поля. В этих координатах функция Лагранжа имеет вид

L=.

В функцию L не вошла явно координата . Обобщённые координаты, не входящие явно в функцию Лагранжа называются циклическими. В отсутствие непотенциальных сил уравнение Лагранжа, соответствующее циклическим координатам, выглядит следующим образом

(11.2)

. (11.3).

Таким образом, обобщённые импульсы, соответствующие циклическим координатам, оказываются постоянными и являются интегралами движения.

В рассматриваемой нами задаче уравнение 11.2 имеет вид

(11.4)

Для нахождения траектории частицы лучше всего исходить из уравнений 11.3 и 11.4, чем из уравнений Лагранжа. Такой путь проще, так как уравнения Лагранжа содержат вторые производные координат, уравнения же 11.3 и 11.4 – первые производные координат по времени.

Читайте также:  Для каких целей может использоваться тонкий клиент

Исключив из уравнений 11.3 и 11.4 получим

E=m+

=

Из уравнения 11.3

Исключив dt из последних двух уравнений, найдём, что

Введя обозначения 2mE+=, , —

+, где — постоянная интегрирования.

Возвращаясь к прежним обозначениям, мы получим уравнение траектории частицы в полярных координатах.

(11.5)

Уравнения 11.5 следует, что при заданной величине r разность может иметь 2 отличающихся знаком значения (cos(-)=cos). Отсюда легко заключить, что кривая, описываемая уравнением 11.5, симметрична относительно прямой, образующей с осью, от которой отсчитывается угол , угол .

Чтобы выяснить характер кривой, описываемой уравнением 11.5, введём обозначения , (11.6)

=e (11.7)

Тогда уравнение траектории примет вид

Или после несложных преобразований,

r=± (11.8)

знак соответствует случаю отталкивания, нижний – случаю притяжения частицы к центру сил.

Полученное нами уравнение есть уравнение конического сечения (см. Приложение IV) с фокальным параметром р и эксцентриситетом е.

Рассмотрим сначала случай отталкивания. В этом случае U>0, так что полная энергия Е не может быть отрицательной. Поэтому согласно 11.7 е>1. Таким образом, в случае отталкивания траекторией частицы может быть только гипербола. Получим уравнение траектории

r=

Значение определяется выбором начала отсчёта . Если угол отсчитывать от оси симметрии кривой, то r не должно изменяться при изменении знака . Это имеет место лишь при или . Положив получим уравнение

r=

совпадающее с уравнением IV.14, которое описывает правую ветвь гиперболы(при условии, что начало координат т. е. силовой центр, помещено во внешнем(левом) фокусе гиперболы).

Положив и учтя, что cos(-π)=cosуравнение

r=, совпадающее с уравнением IV.13, описывающим левую ветвь гиперболы (при условии, что начало координат помещено во внешнем (правом) фокусе гиперболы рис 11.1).

Теперь обратимся к случаю притяжения (a 0 эксцентриситет оказывается больше единицы и траектория будет гиперболой. Уравнение 11.9 даёт правую ветвь гиперболы, уравнение 11.10 – левую. При этом в отличие от случая отталкивания, начало координат помещается во внутреннем для данной ветви фокусе (рис 11.2).

Читайте также:  Как удалить вкладки в меню вкладок

При Е=0 эксцентриситет оказывается равным единице, и траектория будет параболой. Этот случай осуществляется, если частица начинает своё движение из состояния покоя на бесконечности.

Центральное силовое поле – область пространства, в которой действуют центральные силы, являющиеся потенциальным полем, а центральные силы – консервативными частицами.

Момент импульса частицы, движущейся в ЦСП не изменяется с течением времени. Из следует, что и , т.е. плоскости в которой лежат два вектора и и ; и в любой момент времени находятся в одной и той же плоскости что и в начальный момент времени, т.е. движение частицы происходит в плоскости и называется плоским движением.

Секториальная скорость частицы в ЦСП — векторная величина, модуль которой равен площади «занимаемой» радиус-вектором частицы за еденицу времени, а направление совпадает с направление момента импульса. Т.к. в ЦСП , то , т.е. секториальная скорость частицы движущейся в ЦСП сохраняется.
Движение частицы в центральном поле. Потенциальная энергия частицы центральном поле сил. Законы Кеплера.

Центральное силовое поле – область пространства, в которой действуют центральные силы, являющиеся потенциальным полем, а центральные силы – консервативными частицами.

Потенциальная энергия в ЦСП:

Потенциальная энергия частицы, находящейся в поле центральных сил зависит только от расстояния до центра .

I Закон: Планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце.

II Закон: Радиус-вектор планеты за равные интервалы времени описывает одинаковые площади.

III Закон: Квадраты периодов обращения любых двух планет относятся как кубы больших полуосей их орбит: . .

Законы Кеплера справедливы также для движения спутников вокруг планеты.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: При сдаче лабораторной работы, студент делает вид, что все знает; преподаватель делает вид, что верит ему. 9951 — | 7571 — или читать все.

Ссылка на основную публикацию
Формула vlookup на русском
Функция ВПР в Excel позволяет данные из одной таблицы переставить в соответствующие ячейки второй. Ее английское наименование – VLOOKUP. Очень...
Установить цену номенклатуры в 1с розница
Дата публикации 30.01.2019 В программе "1С:Бухгалтерии 8" (ред. 3.0) можно установить цены номенклатуры (товаров, работ, услуг) для их автоматической подстановки...
Установить ярлык алиса на рабочий стол
Алиса – относительно новый голосовой помощник от компании Яндекс, который не только понимает русский язык, но и практически идеально на...
Формула в эксель вычитаем проценты
В различных видах деятельности необходимо умение считать проценты. Понимать, как они «получаются». Торговые надбавки, НДС, скидки, доходность вкладов, ценных бумаг...
Adblock detector