Эпюр монжа по координатам

2.1. Аппарат полного проецирования.

2.3. Характеристика точек.

2.4. Контрольные вопросы.

Аппарат полного проецирования

Выше было указано, что бы обеспечить взаимно-однозначное соответ­ствие между фигурами Ф пространства и их двумерными изображениями необходимо чтобы аппарат проецирования имел несколько плоскостей проецирования.

Рассмотрим аппарат полного проецирования (метод трех изображений). Для этого введём три плоскости проекций (рис. 14):

π1 – горизонтальная плоскость проекций;

π2 – фронтальная плоскость проекций;

π3 – профильная плоскость проекций.

Плоскости проекций располагаются взаимно перпендикулярно (π1^π2^ π3), а их линии пересечения образуют оси:

Точка пересечения осей считается точкой начала отсчета (точка 0).

Так как плоскости и оси взаимно перпендикулярны, то такой аппарат аналогичен декартовой системе координат.

Плоскости проекций все пространство делят на восемь октантов (на рис. 14 они обозначены римскими цифрами). Плоскости проекций считаются непрозрачными, а зритель всегда находится в I октанте.

Проецирование ортогональное с центрами проецирования S1, S2 и S3 соответственно для горизонтальной, фронтальной и профильной плоско­стей проекций.

Рассмотрим работу аппарата на примере проецирования точки А.

Из центров проецирования S1, S2 и S3 выходят проецирующие лучи l1, l2 и l3. Эти лучи проходят через точку А и пересекаясь с плоскостями проекций образуют ее проекции:

– А1 – горизонтальная проекция точки А;

– А2 – фронтальная проекция точки А;

– А3 – профильная проекция точки А.

Точка в пространстве характеризуется своими координатами A(x,y,z). Точки Ax, Ay и Az соответственно на осях 0X, 0Y и 0Z показывают координаты x, y и z точки А. На рис. 14 даны все необходимые обозначения и показаны связи между точкой А пространства, её проекциями и координатами.

Эпюр точки

Чтобы получить чертёж точки А (рис. 15), в аппарате проецирования (рис. 14) плоскость π1 с полученной проекцией точки А1 вращают по часовой стрелке вокруг оси 0Х, до совмещения её с плоскостью π2. Затем плоскость π3 с проекцией точки А3, вращают против часовой стрелки вокруг оси 0Z, до совмещения её с плоскостью π2. Направление поворотов плоскостей π2 и π3 показано на рис. 13 стрелками. Полученный таким образом чертёж называется эпюром. При этом прямые А1Ах и А2Ах станут располагаться на общем к оси 0Х перпендикуляре А1А2, а прямые А2Ах и А3Ах станут располагаться на общем к оси 0Z перпендикуляре А2А3. Эти прямые в даль­нейшем будем называть соответственно вертикальной и горизонтальной линиями связей.

Следует отметить, что при переходе от аппарата проецирования к эпюру проектируемый объект исчезает, но вся информация о его форме, геометрических размерах и месте его положения в пространстве сохраняются.

На практике построение эпюра точки А(xA, yA, zA) осуществляется по числен­ным значениям ее координат xA, yA и zA в следующей последо­вательности (рис. 15). Эта последовательность называется методикой построения эпюра точки.

1. Ортогонально вычерчиваются оси OX, OY и OZ.

2. На оси OX откладывается численное значение координаты xA точки А и получают положение точки Ах.

3. Через точку Ах перпендикулярно оси OX проводится вертикальная линия связи.

4. На вертикальной линии связи от точки Ах по направлению оси OY откладывается численное значение координаты yA точки А и определяется положение горизонтальной проекции точки А1 на эпюре.

5. На вертикальной линии связи от точки Ах по направлению оси OZ откладывается численное значение координаты zA точки А и определяется положение фронтальной проекции точки А2 на эпюре.

6. Через точку А2 параллельно оси OX проводится горизонтальная линия связи. Пересечение этой линии и оси OZ даст положение точки Аz.

7. На горизонтальной линии связи от точки Аz по направлению оси OY откладывается численное значение координаты yA точки А и определяется положение профильной проекции точки А3 на эпюре.

Характеристика точек

Все точки пространства подразделяются на точки частного и общего положений.

Точки частного положения. Точки, принадлежащие аппарату проеци­рова­ния, называются точками частного положения. К ним относятся точки, принадлежащие плоскостям проекций, осям, началу координат и центрам проецирования. Характерные признаки точек частного положения приведены в табл. 1 и на рис. 16–19.

Математические признаки точек частного положения

Точка принадлежитЧисленные значения координат точкиx y z плоскости π1 ≠0≠0=0плоскости π2 ≠0=0≠0плоскости π3 =0≠0≠0оси 0X ≠0=0=0оси 0Y =0≠0=0оси 0Z =0=0≠0точки 0=0=0=0центру S1 ≠0≠0∞центру S2 ≠0∞≠0центру S3 ∞≠0≠0

На рис. 16 приведены характерные признаки принадлежности точек плоскостям проекций на эпюре Монжа: точка А Ì π1 (рис 16а); точка В Ì π2(рис 16б); точка С Ìπ3 (рис 16в). Такими признаками являются принад­леж­ность двух проекций точки осям.

На рис. 17 приведены характерные признаки принадлежности точек осям на эпюре Монжа: точка А Ì0X (рис 17а); точка В Ì 0Y (рис 17б); точка С Ì0Z (рис 17в). Такими признаками являются принадлежность двух тож­дественно совпадающих проекций точки осям эпюра.

Читайте также:  Отзывы о котлах галан 6 квт

На рис 18 на эпюре Монжа показан характерный признак точки А принад­лежащей началу координат, т.е. все три проекции точки тожде­ственно совпадают и принадлежат началу координат.

На рис. 19 приведены характерные признаки принадлежности точек центрам проецирования на эпюре Монжа: точка А Ì S1 (рис 19а); точка
В Ì S2(рис 19б); точка С Ì S3 (рис 19в). Такими признаками являются принад­лежность двух проекций точки проекциям центров проецирования.

Точки общего положения. К точкам общего положения относятся точки, не принадлежащие аппарату проецирования. Например, точка на рис. 13.

В общем случае численные значения координат точки характеризует ее удаление от плоскости проекций: координата х от плоскостиπ3; координата y от плоскости π2; координата z от плоскости π1. Следует отметить, что знаки при численных значениях указывают на направление удаления точки от плоскостей проекций. В зависимости от сочетания знаков при численных значениях координат точки зависит в каком из октанов она находится (табл. 2).

Расположение проекций точки, относительно осей, на эпюре зависит от того в каком октане она находится (рис. 20).

На рис. 20 показано расположение проекций относительно осей для точки: А находящейся в I октане; В находящейся во II октане; C находящейся в III октане; D находящейся в IV октане; E находящейся в V октане; G находящейся в VI октане; K находящейся в VII октане; L находящейся в VIII октане.

Определение номера октана от знаков координат

Номер октанаЗнак при координатеxyz I+++II+—+III+——IV++—V—++VI——+VII———VIII—+—

2.4. Контрольные вопросы

1. Как называются плоскости проекций π1,π2и π3?

2. Как образуются оси 0Х, 0Y и 0Z?

3. Как получается проекции точи в аппарате проецирования?

4. Зачем нужны центры проецирования S1, S2 и S3?

5. Как осуществляется переход от аппарата проецирования к плоскому чертежу?

6. Чем отличается эпюр от аппарата проецирования?

7. Алгоритм построения точки на эпюре Монжа.

8. Какие точки относятся к точкам общего положения?

9. Какие точки относятся к точкам частного положения?

10. Характерные признаки точек частного положения на эпюре Монжа.

11. Что характеризуют численные значения координат х, y и z точки?

Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ — конструкции, предназначен­ные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой.

Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰).

Методы проецирования, представленные в § 1.1, позволяют строить изображения (проекции) по заданному геометрическому образу (оригиналу), т.е. решать прямую задачу начертательной геометрии. Но в ряде случаев предусматривается решение обратной задачи, которая заключается в построении оригинала в пространстве по его проекциям на плоскости проекций.

Таким образом, приведенные выше проекционные чертежи (см. рис. 3, рис. 6, рис. 7, рис. 9) не позволяют восстановить оригинал, т.е. не обладают свойством «обратимости».

Рассмотрим схему построения обратимого чертежа, используемую в начертательной геометрии.

Ортогональное проецирование является частным случаем параллельного проецирования, когда направление проецирования перпендикулярно (ортогонально) плоскости проекций: S^Пi.

Ортогональное проецирование является основным в черчении, т.к. обладает большой наглядностью и позволяет при определенном расположении геометрических образов относительно плоскостей проекций сохранить ряд линейных и угловых параметров оригинала.

Французский геометр Гаспар Монж предложил ортогонально проецировать оригинал на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций П1 и П2 .

X

П1 – горизонтальная плоскость проекций; П2 — фронтальная плоскость проекций; х = П1 Ⴖ П2 .

Плоскости проекций разделяют пространство на четыре четверти (или квадранты). Четверти нумеруются в порядке, указанном на рис. 11. Система координат выбрана из условия совпадения координатных плоскостей с плоскостями проекций. На рис. 12 показано проецирование точки А на плоскости П1 и П2 . Проецирующие лучи АА1 и АА2 перпендикулярны соответствующим плоскостям проекций, поэтому фронтальная (А2) и горизонтальная (А1) проекции точки А находятся на перпендикулярах А1Ах и А2Ах к оси проекций х.

Повернув плоскость проекций П1 вокруг оси х на угол 90 0 (рис. 13), получим одну плоскость – плоскость чертежа, проекции А1 и А2 расположатся на одном перпендикуляре к оси проекций х – линии связи. В результате совмещения плоскостей проекций П1 и П2 получается чертеж, называемый эпюром Монжа. Эпюр Монжа называют в современной литературе еще комплексным чертежом. Это чертеж состоящий из двух и более связанных между собой проекций геометрического образа. В дальнейшем эпюр Монжа будем называть одним словом – чертеж.

Так как плоскости проекций безграничны, то чертеж точки А в системе П1/П2 будет выглядеть так, как на рис. 14.

А2Ах – расстояние от точки А до плоскости проекций П1;

Читайте также:  Как узнать количество просмотров вконтакте

А1Ах – расстояние от точки А до плоскости проекций П2.

Поэтому проекции точки А на две плоскости проекций полностью определяют ее положение в пространстве.

Для упрощения дальнейших рассуждений будем рассматривать лишь часть пространства, расположенную влево от профильной плоскости проекции П3 .

П3 – профильная плоскость проекций; Z = П2 Ⴖ П3; Z – ось ординат. Плоскость проекции П3 перпендикулярна к П1П2.

На рис. 15 показано направление поворота на угол 90 0 плоскостей проекций П3 и П1 вокруг соответствующих осей координат до совмещения с П2 .

Из рис. 15 видим, что ось Х делит горизонтальную плоскость проекций П1 на две части: переднюю полу П1 (оси Х и Y) и заднюю полу П1 (оси Х и Y).

Ось абсцисс Х делит фронтальную плоскость проекций П2 также на две части: верхнюю полу П2 (оси Х и Z) и нижнюю полу (оси Х и -Z).

Рис. 15

Оси ординат Y и аппликат Z делят профильную плоскость П3 на четыре части: верхнюю переднюю полу П3 (оси Z и Y); верхнюю заднюю полу П3 (оси Z и –Y); нижнюю переднюю полу П3 (оси -Z и Y); нижнюю заднюю полу П3 (оси -Z и –Y).

На рис. 16 показан совмещенный комплексный чертеж трех плоскостей проекций

КоординатаЧетверть пространстваIIIIIIIVх++++у+——+z++——ТаблицаРис. 16

Из рис. 15 видно, что точки, расположенные в различных четвертях пространства, имеют определенные знаки координат. Эти знаки приведены в таблице.

Построение проекций точки А в системе П1/П2/П3 показано на рис. 17

ОАх – удаление точки А от профильной плоскости проекций;

А3 – профильная проекция точки А;

На чертеже фронтальная и профильная проекции точки лежат на одной линии связи, перпендикулярной к оси Z, причем профильная проекция находится на таком же расстоянии от оси Z, что и горизонтальная от оси Х : АzА3 = АхА1.

Горизонтальная проекция точки А1 определяется координатами Х и Y

фронтальная А2 – координатами Х и Z, профильная П3 – координатами Y и Z.

Относительно плоскостей проекций точка может занимать следующие положения:

1. Точка располагается в какой-либо четверти пространства, при этом обязательно условие, что Х ≠ 0; Y ≠ 0; Z ¹ 0.
2. Точка принадлежит какой-либо плоскости проекций, при условии, что одна из координат должна быть равна «0».

А Î П1, если Ζ = 0;

А Î П2, если Y = 0;

А Î П3, если Х = 0.

3. Точка принадлежит оси координат, если две любые координаты будут равны «0».

Лекция

По дисциплине «Инженерная графика»

Раздел. 1 Начертательная геометрия

Введение.

Начертательную геометрию называют также теорией изображений. Предметом начертательной геометрии является изложение и обоснование способов изображения пространственных фигур на плоском чертеже и способов решения пространственных геометрических задач на плоском чертеже.Стереометрические (трехмерные) объекты обсуждаются в ней с помощью планиметрических (двухмерных) изображений этих объектов, проекций.

Говорят, что чертеж – язык техники, а начертательная геометрия – грамматика этого языка. Начертательная геометрия является теоретической основой построения технических чертежей, которые представляют собой полные графические модели конкретных инженерных изделий.

Правила построения изображений, излагаемых в начертательной геометрии, основаны на методе проекций.

Изучение начертательной геометрии способствует развитию пространственного представления и воображения, конструктивно геометрического мышления, развитию способностей к анализу и синтезу пространственных форм и отношений между ними. Освоению способов конструирования различных геометрических пространственных объектов, способов получения их чертежей на уровне графических моделей и умению решать на этих чертежах задачи, связанные с пространственными объектами и их геометрическими характеристиками.

Основание начертательной геометрии как науке было положено французским ученым и инженером Гаспаром Монжем (1746-1818) в его труде “Начертательная геометрия”, Париж, 1795 г. Гаспар Монж дал общий метод решения стереометрических задач геометрическими построениями на плоскости, то есть на чертеже, с помощью чертежных инструментов.

А, В, С, D, -точки обозначаются заглавными буквами латинского алфавита;

a, b, с, d — линии — строчными буквами латинского алфавита;

p1 – горизонтальная плоскость проекций,

p2 – фронтальная плоскость проекций,

p3 — профильная плоскость проекций,

p4, p5, . — дополнительные плоскости проекций.

, , — плоскости

Оси проекций — строчными буквами латинского алфавита: х, y и z. Начало координат — цифрой 0.

Проекции точек, прямых, плоскостей обозначаются: на p1 с одним штрихом, на p2 с двумя, на p3 – с тремя штрихами.

p1 – А I , В I , C I . a I , b I , . ,a I , b I ,

p2 – А II , В II , C II . a II , b II , . ,a II , b II ,

p3 – А III , В III , C III . a III , b III , . ,a III , b III .

1 Центральное проецирование.

Аппарат центрального проецирования состоит из центра проецирования S, плоскости проекций π, проецирующих лучей.

π1 — плоскость проекций

S – центр проецирования

A, B, C — точки в пространстве

A’, B’, C’ — проекции точек на плоскость π’

Читайте также:  Ютуб гейминг как начать стримить

Проекция – это точка пересечения проецирующего луча с плоскостью проекций.

2. Параллельное проецирование.

Проецирующие лучи проводятся параллельно S и друг другу. Параллельные проекции делятся на косоугольные и прямоугольные. При косоугольном проецировании лучи расположены под углом к проецирующей плоскости.

При прямоугольном проецировании проецирующие лучи перпендикулярны плоскости проекций (рис. 1.3). Прямоугольное проецирование является основным способом проецирования, принятым при построении технических чертежей

Основные свойства ортогонального проецирования

1. Проекция точки — есть точка;

2. Проекция прямой (в общем случае) – есть прямая линия или точка(прямая перпендикулярна плоскости проекций);

3. Если точка лежит на прямой, то проекция этой точки будет принадлежать проекции прямой: А l ® A’ l’;

4. Если две прямые в пространстве параллельны, то их одноименные проекции также параллельны: a || b ® a` || b`;

5. Если две прямые пересекаются в некоторой точке, то их одноименные проекции пересекаются в соответствующей проекции этой точки: m ∩ n = K ® m’ ∩ n’ = K’;

6. Пропорциональность отрезков, лежащих на одной прямой или на двух параллельных прямых, сохраняется и на их проекциях (рис.1.3): АВ:СD = А’B’: C’D’

7. Если одна из двух взаимно перпендикулярных прямых параллельна плоскости проекций, то прямой угол проецируется на эту плоскость прямым углом (рис.1.4).

Комплексный чертеж точки или эпюр Монжа.

Самый употребительный на практике метод начертательной геометрии предложил Гаспар Монж. В основе этого метода лежит ортогональное проектирование.

Ортогональной (или прямоугольной) проекцией точки А на плоскость π1 называют основанием перпендикуляра, опущенного из точки А на плоскость π1 (рис.1.5)

Получаемый при этом на плоскости π1 чертеж необратим, соответствие между оригиналом А и проекцией A’ однозначно только в одну сторону: от оригинала к проекции. Оригиналу соответствует единственная проекция, оригиналом чертеж определен однозначно, но для проекции A’ существует бесчисленное множество соответствующих ей оригиналов, а именно все точки проецирующей прямой A A’. Точный перевод с языка чертежа на язык натуры невозможен. Поэтому Монж вводит вторую плоскость проекций.

На рис. 6. изображена прямоугольная система координат.

Совмещая теперь плоскости π1 и π2 с построенными в них проекциями поворотом π1 вокруг оси Х на 90 0 так, чтобы передняя полуплоскость π1 совпала с нижней полуплоскостью π2, получаем комплексный чертеж точки или эпюр Монжа. (рис. 1.7).

Построенный по таким правилам чертеж, состоящий из пары проекций, расположенных в проекционной связи, обратим, то есть соответствие между оригиналом и чертежом однозначно в обе стороны. Или иначе говоря, чертеж дает исчерпывающую информацию об оригинале. Расшифровка этой информации и составляет предмет начертательной геометрии.

Из комплексного чертежа точки можно сделать выводы:

1. две проекции точки вполне определяют положение точки в пространстве;

2. проекции точек всегда лежат на линии связи, перпендикулярной оси проекции.

A’ A» Х

Линии, соединяющие проекции точек, называются линиями связи и изображаются сплошными тонкими линиями.

В ряде построений и при решении задач оказывается необходимым вводить в систему π1 (горизонтальная плоскость) π2 (Фронтальная плоскость) и другие плоскости проекций. Плоскость, перпендикулярная и к π1 и к π1, — это профильная плоскость. π3. Линия пересечения горизонтальной и фронтальной плоскостей дают ось Х, линия пересечения горизонтальной и профильной плоскостей дают ось У, и линия пересечения фронтальной и профильной плоскостей – ось Z. (рис.1. 8)

Чтобы получить комплексный чертеж точки необходимо расположить три плоскости в одной, для чего «разрезаем» ось У и совмещаем три основные плоскости проекций в одну (рис.1. 9).

Новой информации об оригинале третья проекция не добавляет. Она лишь делает имеющуюся информацию более удобоваримой. (Рис. 1.10)

Расстояние от точки А до плоскости π3 (А A»’) в пространстве можно увидеть на чертеже и оно равно расстоянию A’AY = A»AZ = AX0 = X

Расстояние от точки А до плоскости π2 (А A») в пространстве можно увидеть на чертеже и оно равно расстоянию A’AX = A»’AZ = AY0 = Y

Расстояние от точки А до плоскости π1 (А A’) в пространстве можно увидеть на чертеже и оно равно расстоянию A»AX = A»’AY = AZ0 = Z

Пример. Построить проекции точек А(10, 10,30), В(30,20,10)

Точки, у которых совпадает одна пара одноименных проекций (а другие не совпадают), называются конкурирующими точками.

Точки расположены на одной проецирующей прямой, перпендикулярной фронтальной плоскости проекций. Направление взгляда указано стрелкой. При этом проекция B’ ближе к наблюдателю, чем A’, и на π2 видимой будет проекция B» а проекция А» будет невидимой (рис. 1.12).

Точки расположены на одной проецирующей прямой, перпендикулярной горизонтальной плоскости проекций. Направление взгляда указано стрелкой. При этом проекция А» ближе к наблюдателю, чем В», и на π1 видимой будет проекция А’ а проекция В’ будет невидимой (рис. 1.13).

Чем дальше проекция точки от оси Х, тем точка выше или ближе к наблюдателю.