Формула деления отрезка пополам

Формула деления отрезка пополам

Задача 1. Дан отрезок АВ. Построить точку С, делящую этот отрезок на две равные части.

Решение. Пусть дан отрезок АВ (рис. 207). Требуется разделить его пополам, т. е. построить его середину. Мы пользуемся линейкой без делений и потому не можем применять способ, связанный с измерением длины отрезка и делением ее пополам. Вместо этого поступаем так. Из конца А отрезка АВ, как из центра, описываем окружность произвольным радиусом, превышающим половину длины отрезка (проще всего взять радиус, равный самому отрезку АВ). Тем же радиусом описываем окружность с центром В. Эти окружности равного радиуса пересекутся в двух различных точках К и L, так как сумма их радиусов превосходит (по построению) расстояние АВ между их центрами. Соединим эти точки отрезком . Он пересечет данный отрезок в его середине, т. е. в искомой точке С. Действительно, каждая из точек равноотстоит от концов А и В данного отрезка и потому (свойство перпендикуляра, построенного в середине отрезка) лежит на перпендикуляре, восставленном из середины отрезка АВ.

Задача 2. Восставить перпендикуляр к отрезку АВ в его середине.

Задача 3. Опустить перпендикуляр из данной точки М на прямую а.

Решение. Из данной точки М, как из центра, опишем дугу окружности достаточно большим радиусом (например, больше где — какая-либо точка прямой а) так, чтобы она пересекла данную прямую в двух точках («сделаем засечки на а», рис. 208). Точки A и В по построению равноудалены от М, и потому М лежит на перпендикуляре к а, построенном в середине отрезка АВ. Для завершения построения остается из точек А и В, как из центров, провести дуги окружностей, например, тем же радиусом R до их пересечения в точке М (вторая точка пересечения, в данном случае М, нам уже известна), линия ММ и будет искомым перпендикуляром.

Задача 4. В данной точке М прямой восставить к ней перпендикуляр.

Указание. Из данной точки М, как из центра, сделаем на прямой засечки произвольным радиусом (т. е. отложим от М в обоих направлениях равные отрезки МА и MB). Теперь искомый перпендикуляр будет перпендикуляром в середине отрезка АВ.

Постановка задачи. Пусть дана некоторая функция f(x). Необходимо найти с точностью до e такое x* , что f(x*)=0 . В том случае, когда решение не может быть найдено в явном виде, применяются численные методы. Наиболее распространенными из них являются метод деления отрезка пополам, метод простых итераций, метод касательных (Ньютона), метод секущих и метод хорд.

Читайте также:  Провода на акустику ода

Рассмотрим метод деления отрезка пополам более подробно.

В соответствии с этим методом вначале необходимо приблизительно определить отрезок, на котором функция f(x) меняет знак. Для этого можно использовать графический способ, заключающийся в построении графика функции на экране компьютера и приблизительного визуального определения точек пересечения графика с осью абсцисс.

При отыскании корня методом половинного деления сначала вычисляются значения функции в точках a и b — соответственно f(a) и f(b), имеющие противоположные знаки. Далее по формуле xср=(a+b)/2 вычисляется координата центра отрезка [a, b] и находится значение функции в этой точке f(xср). Оно сравнивается со значениями функции на концах отрезка. Если функция меняет знак на отрезке [a, xср], то весь отрезок [a, b] усекается до его левой части, то есть xср становится правой границей отрезка (b). Аналогично, если функция меняет знак на отрезке [xср, b], отрезок [a, b] усекается до правой части. Эти операции повторяются до тех пор, пока разница между соседними значениями x не станет меньше или равной выбранной точности .

· Простота; · Быстрое достижение результата.
· Необходимо заранее знать отрезок, на котором функция меняет знак, что не совсем удобно. · Линейная сходимость.

Блок-схема

алгоритма поиска корня уравнения f(x)=0

Методом деления отрезка пополам

Метод хорд.

Является более быстрым способом нахождения корня уравнения f(x)=0 лежащего на отрезке [a;b], таком, что f(a)*f(b) 0. Разделим отрезок в отношении

Это даёт приближённое значение корня x1=a+h1 ,

Применяя этот приём, к тому из отрезков [a;x1] или [x1;b] на концах которого функция имеет противоположные знаки. Получим второе приближение корня x2.

Геометрически, метод хорд эквивалентен замене кривой y=f(x) хордой проходящей через т. а и т. B.

Полагая, что х=х1 и у=0, получим х1=а — f(a)*(b-a)/(f(b)-f(a)), x1 – первое приближение.

Для сходимости процессов корень должен быть отделён вторая производная должна сохранять знак на отрезке [a;b].

Читайте также:  Настройки на телевизор hitachi

Процесс вычисления заканчивается когда разность между 2-мя значениями корня

Блок-схема

алгоритма поиска корня уравнения f(x)=0

нет
да

методом хорд

Метод простой итерации.

Метод простой итерации используется для решения нелинейных уравнений. Метод основан на последовательном приближении к корню уравнения

при заданных начальных условиях : начальное приближение и точность вычисления. При использовании метода простой итерации , важным является выбор функции х = F(x) , при этом должно выполняться условие :

│f(x)│ 0 , то разделим первое уравнение на а11 и умножим

на а21 . Вычтем из второго уравнения преобразованное первое. Получим :

Сейчас легко находим v:

Аналогично для матриц большего порядка.

Метод итерации.

При большом числе неизвестных используют приближённо-численные методы.

|a11 a12 … a1n| |B1| |x1|

A=| a21 a22 … a2n| B= |B2 x=|x2|

|an1 an2 … ann| |Bn| |xn|

Предположим, что аii<>0. Разрешим первое уравнение относительно х1, второе относительно х2 и т.д.

Далее решаем методом последовательных приближений. За начальное приближение выбираем столбец свободных членов:

Алгоритм нахождения корней:

Вычисление заканчивается тогда, когда разность между 2-мя ближними итерациями значений корня будет 2 + a3t 3 + a4t 4 + … + ant n

по схеме Горнера представляется в виде

Данное разложение полинома удобно тем, что в нём отсутствует возведение в степень, что значительно ускоряет вычисление полинома.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:

Задачи на построение

Деление отрезка пополам

Деление отрезка пополам выполняется следующим образом. На отрезке AB необходимо, из точки А, отложить дугу большую половине этого отрезка. Далее, не меняя значения циркуля, из точки В построим засечки, пересекающие нашу дугу. Пересечение дуги и засечек образуют точки E и D, затем проводим прямую через эти точки, которая и поделит наш отрезок АВ ровно на две части. Если продолжить деление полученных частей пополам можно таким же способом разделить отрезок на 4, 8, 16 и т.д., т.е. на число кратное 2.

Соединим точки Е и D с концами отрезка AB. По построению AD = AE = DB = EB. Поэтому равнобедренные треугольники DAE и DBE равны по трем сторонам. Отсюда следует равенство углов ADO и BDO. В равнобедренном треугольнике ABD, DO- биссектриса, проведенная к основанию, следовательно, она медиана и высота. Отсюда AO = OB, и точка O — середина отрезка AB.

Читайте также:  Звуки из фильма хроники риддика

Деление отрезка прямой на пропорциональные части

Существует теорема Фалеса, которая звучит следующим образом: "если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки". Используя данную теорему мы можем произвести деление отрезка прямой на пропорциональные части. Разберем как выполняется данное деление.

Для того чтобы разделить отрезок АВ в соотношении например 3:2 (отсчитывая от точки А), необходимо под произвольным углом из точки А провести вспомогательную прямую. Затем на этой прямой отложить 5 произвольных, но равных между собой отрезков. Далее соединить прямой точки В и 5 и из точки 3 параллельно прямой В5 провести прямую до пересечения ее с отрезком АВ, полученная точка пересечения D разделит отрезок АВ в соотношении 3:2. Мы получим отношение AD:DB = 3:2

Рассмотрим треугольники АСВ и AEB. Данные треугольники подобны по двум углам (?A- общий, ?ACD=?AEB- соответственные). Следовательно, отношения сторон треугольников равны. По построению =, значит и =. Значит, отрезок АВ поделен в заданном отношении.

Деление отрезка в крайнем и среднем отношении

На рисунке отрезок АО разделен так, что отношение отрезка АО к отрезку АК равно отношению отрезка АК к отрезку КО (АО : АК=АК : КО). Такое деление известно под названием золотое сечение или золотое отношение. Правило золотого сечения получило популярность благодаря своим применениям в живописи и, особенно, в архитектуре, а также обнаружению этой пропорции (и тесно связанных с ней чисел Фибоначчи) в живой природе.

Графическое построение золотого сечения выполняется следующим образом: отрезок АО делим на две равные части (точка С); в точке О строим перпендикуляр к отрезку АО, на перпендикуляре откладываем отрезок ОМ который равен отрезку ОС; точки А и М соединяют прямой. Далее на этой прямой от точки М откладывают отрезок MN = ОМ и на отрезке АО от точки А откладывают отрезок АК из точки N. Точка К и будет являться результирующей точкой которая делит отрезок АО в крайнем и среднем отношении.

Ссылка на основную публикацию
Формула vlookup на русском
Функция ВПР в Excel позволяет данные из одной таблицы переставить в соответствующие ячейки второй. Ее английское наименование – VLOOKUP. Очень...
Установить цену номенклатуры в 1с розница
Дата публикации 30.01.2019 В программе "1С:Бухгалтерии 8" (ред. 3.0) можно установить цены номенклатуры (товаров, работ, услуг) для их автоматической подстановки...
Установить ярлык алиса на рабочий стол
Алиса – относительно новый голосовой помощник от компании Яндекс, который не только понимает русский язык, но и практически идеально на...
Формула в эксель вычитаем проценты
В различных видах деятельности необходимо умение считать проценты. Понимать, как они «получаются». Торговые надбавки, НДС, скидки, доходность вкладов, ценных бумаг...
Adblock detector