Формула медианы треугольника через координаты вершин

Как найти медиану если даны координаты вершин треугольника?

Чтобы найти медиану треугольника по координатам его вершин, применим формулы координат середины отрезка и формулу расстояния между точками.

Рассмотрим нахождение медианы на конкретном примере.

Дано: ΔABC,

1) Так как AF — медиана треугольника ABC, то F — середина BC.

x0 — x1 = (x2 + x3 — 2 * x1)/3 => x0 = (x1 + x2 + x3)/3

или такПусть координаты таковы:
A(x1;y1), B(x2;y2), C(x3;y3)
AM, BN — медианы треугольника, O — точка пересечения медиан.
Так как M — середина BC, то ее координаты:
M((x2+x3)/2;(y2+y3)/2)
Находим координаты вектора AM
AM = ((x2+x3)/2-x1;(y2+y3)/2-y1)
AM = ((x2+x3-2×1)/2;(y2+y3-2y1)/2)
Дальше используем свойство, что медианы точкой пересечения делятся в отношении 2 к 1, считая от вершины, то есть AO = 2 * OM,
Тогда
AO = 2/3 * AM
Значит вектора AO
AO = (2/3 * (x2+x3-2×1)/2;2/3 * (y2+y3-2y1)/2)
AO = ((x2+x3-2×1)/3;(y2+y3-2y1)/3)
Осталось найти координаты точки O(x0;y0)
AO = (x0 — x1; y0 — y1)
Значит
x0 — x1 = (x2 + x3 — 2 * x1)/3 => x0 = (x1 + x2 + x3)/3
y0 — y1 = (y2 + y3 — 2 * y1)/3 => y0 = (y1 + y2 + y3)/3A(x1;y1), B(x2;y2), C(x3;y3)
AM, BN — медианы треугольника, O — точка пересечения медиан.
Так как M — середина BC, то ее координаты:
M((x2+x3)/2;(y2+y3)/2)
Находим координаты вектора AM
AM = ((x2+x3)/2-x1;(y2+y3)/2-y1)
AM = ((x2+x3-2×1)/2;(y2+y3-2y1)/2)
Дальше используем свойство, что медианы точкой пересечения делятся в отношении 2 к 1, считая от вершины, то есть AO = 2 * OM,
Тогда
AO = 2/3 * AM
Значит вектора AO
AO = (2/3 * (x2+x3-2×1)/2;2/3 * (y2+y3-2y1)/2)
AO = ((x2+x3-2×1)/3;(y2+y3-2y1)/3)
Осталось найти координаты точки O(x0;y0)
AO = (x0 — x1; y0 — y1)
Значит

x0 — x1 = (x2 + x3 — 2 * x1)/3 => x0 = (x1 + x2 + x3)/3

Даны координаты вершин треугольника .

1) Вычислить длину стороны .

Читайте также: Как добавить графу в таблицу эксель

2) Составить уравнение линии .

3) Составить уравнение высоты, проведенной из вершины А, и найти ее длину.

4) Найти точку пересечения медиан.

5) Найти косинус внутреннего угла при вершине В.

6) Найти координаты точки М, расположенной симметрично точке А, относительно прямой ВС.

1. Длина стороны ВС равна модулю вектора .

; .

2. Уравнение прямой ВС: ; ; .

3. Уравнение высоты АК запишем как уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору :

. Длину высоты АК можно найти как расстояние от точки А до прямой ВС: .

4. Найдем координаты точки N – середины стороны ВС:

; ; .

Точка пересечения медиан О делит каждую медиану на отрезки в отношении .

Используем формулы деления отрезка в данном отношении :

5. Косинус угла при вершине В найдем как косинус угла между векторами и ;

6. Точка М, симметричная точке А относительно прямой ВС, расположена на прямой АК, перпендикулярной к прямой ВС, на таком же расстоянии от прямой, как и точка А. Координаты точки К найдем как решения системы Систему решим по формулам Крамера:

Точка К является серединой отрезка АМ.

Контрольные варианты к задаче 2

Даны координаты вершин треугольника АВС. Требуется:

1) вычислить длину стороны ВС;

2) составить уравнение линии ВС;

3) составить уравнение высоты, проведенной из вершины А;

4) вычислить длину высоты, проведенной из вершины А;

5) найти точку пересечения медиан;

6) вычислить внутренний угол при вершине В;

7) найти координаты точки М, расположенной симметрично точке А относительно прямой ВС.

1. .2. .3. .4. .5. .6. .7. .8. .9. .10. .11. .12. .13. .14. .15. .16. .17. .18. .19. .20. .21. .22. .23. .24. .25. .26. .27. .28. .29. .30. .Читайте также: 1С получить ссылку по гуид