Формула приближенного вычисления значения функции

Формула приближенного вычисления значения функции

Калькулятор вычисляет значения функции для заданных значений х.

Данный онлайн калькулятор вычисляет значения функции одной переменной для заданных значений переменной . Функция задается при помощи формулы, в которой могут участвовать математические операции, константы и математические функции. Синтаксис описания формулы см. ниже.

Вычисление значений функции

В формуле допускается использование одной переменной (обозначается как x), числа пи ( pi), следующих математических операторов:
+ — сложение
— вычитание
* — умножение
/ — деление
^ — возведение в степень

и следующих функций:

  • sqrt — квадратный корень
  • rootp — корень степени p, например root3(x) — кубический корень
  • exp — e в указанной степени
  • lb — логарифм по основанию 2
  • lg — логарифм по основанию 10
  • ln — натуральный логарифм (по основанию e)
  • logp — логарифм по основанию p, например log7(x) — логарифм по основанию 7
  • sin — синус
  • cos — косинус
  • tg — тангенс
  • ctg — котангенс
  • sec — секанс
  • cosec — косеканс
  • arcsin — арксинус
  • arccos — арккосинус
  • arctg — арктангенс
  • arcctg — арккотангенс
  • arcsec — арксеканс
  • arccosec — арккосеканс
  • versin — версинус
  • vercos — коверсинус
  • haversin — гаверсинус
  • exsec — экссеканс
  • excsc — экскосеканс
  • sh — гиперболический синус
  • ch — гиперболический косинус
  • th — гиперболический тангенс
  • cth — гиперболический котангенс
  • sech — гиперболический секанс
  • csch — гиперболический косеканс
  • abs — абсолютное значение (модуль)
  • sgn — сигнум (знак)

Производная dy/dx есть предел отношения приращения функции (Δy) к приращению её независимой переменной (Δx), когда последняя стремится к нулю.

Для лучшего понимания материала будем рассматривать функцию расстояния от времени s(t).

Следует понимать, что, чем меньше промежуток времени Δt, тем ближе отношение приращений Δs/Δt к производной функции ds/dt, поэтому, при достаточно малых значениях Δt можно считать Δs/Δt ≈ ds/dt.

Читайте также:  Как узнать member id в вк

Алгебраически это можно записать следующим образом:

Приближенное значение функции s(t+Δt)

Сделаем подстановку Δt = (t1-t), тогда функция s(t1) может бытть выражена приближенной формулой, которая будет включать значение функции s(t) и её производной s'(t) при t=t:

Обратите внимание, что приращённый аргумент t1, входит в эту формулу в первой степени, т. е., линейно.

В этом месте читатель резонно может заметить, — а зачем весь этот непонятный "огород" с подстановками и приближенными равенствами?

Минутку терпения. Переходим ко второй части Марлезонского балета, т.е., разбираем теорию на примерах.

Возьмём степенную функцию s=t 4 , и вычислим значения s в момент времени, близком к t=2.

Вычислим точное и приближенное значение функций для различных Δt и полученные данные сведём в таблицу:

t1 t1 4 32t1-48
2 16 16
2,01 16,322 16,320
2,05 17,661 17,60
2,1 19,448 19,2
2,5 39,0625 32
3 81 48

Проведем аналогичные расчёты для другой функции s=1/t.

t1 1/t1 1-t1/4
2 0,5 0,5
2,01 0,49751 0,49750
2,05 0,4878 0,4875
2,1 0,476 0,475
2,5 0,400 0,375
3 0,33 0,25

Напомним, что мы рассматривали функцию s(t), где Δt — промежуток времени; s'(t) — мгновенная скорость; Δs — расстояние, пройденное за Δt, т. е., приращение пути.

Формула Δs=s'(t)Δt показывает расстояние, пройденное телом за выбранный промежуток времени. Нюанс заключается в том, что сама производная (мгновенная скорость) также меняется во времени (в случае, если движение не равномерное). Поэтому, путь, рассчитанный по указанной формуле, будет тем ближе к истинному, чем меньший промежуток времени рассматривается. Здесь всё логично, если скорость меняется, то за меньший промежуток времени она изменится на меньшее значение, следовательно, рассчёт пути будет более точным. Данный факт наглядно прослеживается в обеих таблицах, приведенных выше. Для первой функции погрешность для Δt=0,01 составляет 0,002, а для Δt=1 — уже 33.

Читайте также:  Блондинка из рекламы tele2

Ещё один важный момент — величина изменения мгновенной скорости зависит не только от Δt, но и от конкретной функции, что также наглядно прослеживается в вышеприведенных таблицах. Для первой функции при Δt=1 разница в вычислениях составляет примерно 40% (показания 81 и 48), тогда, как для второй — только 25% (показания 0,33 и 0,25). Это значит, что для второй функции при определенной степени допустимой погрешности можно брать более длинные промежутки времени, нежели для первой.

Примеры приближенного вычисления функций с помощью производной

Пример 1 .Найти с помощью производной приближенное значение 1,2 2 .

Формула для приближенного вычисления:

Вычисляем первое слагаемое:

Вычисляем первый множитель второго слагаемого:

Вычисляем второе слагаемое:

Подставляем полученные данные в формулу для приближенного вычисления:

Сравниваем с реальным значением:

Почему в качестве значения для x была взята единица? Чисто из меркантильных соображений — с одной стороны, 1 достаточно близка к 1,2, а с другой — с единицей очень легко проводить арифметические действия. Если бы для x было выбрано значение, например, 1,1, то погрешность получилась бы меньше, а если бы, например, 1,5 — то больше.

Пример 2 . Найти с помощью производной приближенное значение 600 1/4 .

В этом случае для значения x логично выбрать число 625, т.к. корень четвёртой степени из 625 будет 5.

Формула для приближенного вычисления:

Вычисляем первое слагаемое:

Вычисляем первый множитель второго слагаемого:

Вычисляем второе слагаемое:

Подставляем полученные данные в формулу для приближенного вычисления:

Сравниваем с реальным значением:

Пример 3 .Найти с помощью производной приближенное значение функции x 2 +√x для точки х=1,21.

Формула для приближенного вычисления:

Вычисляем первое слагаемое:

Вычисляем первый множитель второго слагаемого:

Вычисляем второе слагаемое:

Подставляем полученные данные в формулу для приближенного вычисления:

Читайте также:  Найти трек по словам из песни

Сравниваем с реальным значением:

Пример 4 .Найти с помощью производной приближенное значение tg(41°).

Чтобы решить поставленную задачу, необходимо градусы перевести в радианы. Учитывая, что tg(45°)=1, для x выберем значение 45°.

Формула для приближенного вычисления:

Вычисляем первое слагаемое:

Вычисляем первый множитель второго слагаемого:

Вычисляем второе слагаемое:

Подставляем полученные данные в формулу для приближенного вычисления:

Сравниваем с реальным значением:

Если вам понравился сайт, будем благодарны за его популяризацию 🙂 Расскажите о нас друзьям на форуме, в блоге, сообществе. Это наша кнопочка:

Код кнопки:
Политика конфиденциальности Об авторе

Ссылка на основную публикацию
Формула vlookup на русском
Функция ВПР в Excel позволяет данные из одной таблицы переставить в соответствующие ячейки второй. Ее английское наименование – VLOOKUP. Очень...
Установить цену номенклатуры в 1с розница
Дата публикации 30.01.2019 В программе "1С:Бухгалтерии 8" (ред. 3.0) можно установить цены номенклатуры (товаров, работ, услуг) для их автоматической подстановки...
Установить ярлык алиса на рабочий стол
Алиса – относительно новый голосовой помощник от компании Яндекс, который не только понимает русский язык, но и практически идеально на...
Формула в эксель вычитаем проценты
В различных видах деятельности необходимо умение считать проценты. Понимать, как они «получаются». Торговые надбавки, НДС, скидки, доходность вкладов, ценных бумаг...
Adblock detector