Возведению в степень обратны два действия:
- извлечение корня,
- нахождение логарифма.
Во-первых, сначала надо разобраться, что значит обратное действие. Так деление есть обратное действие умножению, а вычитание — сложению. Это вытекает из рассуждений, что произведение, получившееся от перемножения двух множителей, позволяет найти один из множителей, если известен другой. Например, 5 * 3 = 15. Если нам неизвестен второй множитель (5 * ? = 15), то его можно найти, выполнив деление: 15 : 5 = 3. Операция не меняется, если неизвестен первый множитель: ? * 3 = 15, 15 : 3 = 5. Это связано с тем, что умножение подчиняется переместительному закону (от перемены мест множителей произведение не меняется).
Аналогично и для вычитания: ? + 10 = 33, 33 — 10 = 23 или ? + 23 = 33, 33 — 23 = 10. Неважно, какое слагаемое неизвесто, его всегда находят вычитанием.
Но не все так просто с возведением в степень. Здесь от перестановки основания степени и показателя степени результат изменяется, т.е. возведение в степень не подчиняется переместительному закону: 4 3 = 64, но 3 4 = 81. (Хотя есть исключения: 2 4 = 16 и 4 2 = 16.)
Поэтому, если нам известен результат операции возведения в степень и показатель степени, то, чтобы найти основание степени, надо извлечь корень известной по показателю степени из результа возведения в степень:
? 3 = 125, следовательно 3 √125 = 5.
Если же известны основание степени и результат возведения в степень, а надо найти показатель степени, то используется такая операция как нахождение логарифма:
Обращаем ваше внимание, что в данном разделе разбирается понятие степени только с натуральным показателем и нулём.
Понятие и свойства степеней с рациональными показателями (с отрицательным и дробным) будут рассмотрены в уроках для 8 класса.
Итак, разберёмся, что такое степень числа. Для записи произведения числа самого на себя несколько раз применяют сокращённое обозначение.
Вместо произведения шести одинаковых множителей 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 пишут 4 6 и произносят «четыре в шестой степени».
Читайте также: Как скопировать переписку в одноклассниках
4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 = 4 6
Выражение 4 6 называют степенью числа, где:
- 4 — основание степени;
- 6 — показатель степени.
В общем виде степень с основанием « a » и показателем « n » записывается с помощью выражения:
Степенью числа « a » с натуральным показателем « n », бóльшим 1 , называется произведение « n » одинаковых множителей, каждый из которых равен числу « a ».
Запись « a n » читается так: « а в степени n » или « n -ая степень числа a ».
Исключение составляют записи:
- a 2 — её можно произносить как « а в квадрате»;
- a 3 — её можно произносить как « а в кубе».
Конечно, выражения выше можно читать и по определению степени:
- a 2 — « а во второй степени»;
- a 3 — « а в третьей степени».
Особые случаи возникают, если показатель степени равен единице или нулю (n = 1; n = 0) .
Степенью числа « а » с показателем n = 1 является само это число:
a 1 = a
Любое число в нулевой степени равно единице.
a 0 = 1
Ноль в любой натуральной степени равен нулю.
0 n = 0
Единица в любой степени равна 1.
1 n = 1
Выражение 0 0 (ноль в нулевой степени) считают лишённым смысла.
При решении примеров нужно помнить, что возведением в степень называется нахождение числового или буквенного значения после его возведения в степень.
Пример. Возвести в степень.
- 5 3 = 5 · 5 · 5 = 125
- 2,5 2 = 2,5 · 2,5 = 6,25
- (
34) 4 =
34
·
34
·
34
·
34
=
3 · 3 · 3 · 34 · 4 · 4 · 4
=
81256
Возведение в степень отрицательного числа
Основание степени (число, которое возводят в степень) может быть любым числом — положительным, отрицательным или нулём.
При возведении в степень положительного числа получается положительное число.
При возведении нуля в натуральную степень получается ноль.
При возведении в степень отрицательного числа в результате может получиться как положительное число, так и отрицательное число. Это зависит от того чётным или нечётным числом был показатель степени.
Читайте также: Можно ли поделиться минутами на билайне
Рассмотрим примеры возведения в степень отрицательных чисел.
Из рассмотренных примеров видно, что если отрицательное число возводится в нечётную степень, то получается отрицательное число. Так как произведение нечётного количество отрицательных сомножителей отрицательно.
Если же отрицательное число возводится в чётную степень, то получается положительное число. Так как произведение чётного количество отрицательных сомножителей положительно.
Отрицательное число, возведённое в чётную степень, есть число положительное .
Отрицательное число, возведённое в нечётную степень, — число отрицательное .
Квадрат любого числа есть положительное число или нуль, то есть:
a 2 ≥ 0 при любом a .
- 2 · (−3) 2 = 2 · (−3) · (−3) = 2 · 9 = 18
- −5 · (−2) 3 = −5 · (−8) = 40
Обратите внимание!
При решении примеров на возведение в степень часто делают ошибки, забывая, что записи (−5) 4 и −5 4 это разные выражения. Результаты возведения в степень данных выражений будут разные.
Вычислить (−5) 4 означает найти значение четвёртой степени отрицательного числа.
В то время как найти « −5 4 » означает, что пример нужно решать в 2 действия:
- Возвести в четвёртую степень положительное число 5 .
5 4 = 5 · 5 · 5 · 5 = 625 - Поставить перед полученным результатом знак «минус» (то есть выполнить действие вычитание).
−5 4 = −625
Пример. Вычислить: −6 2 − (−1) 4
- 6 2 = 6 · 6 = 36
- −6 2 = −36
- (−1) 4 = (−1) · (−1) · (−1) · (−1) = 1
- −(−1) 4 = −1
- −36 − 1 = −37
Порядок действий в примерах со степенями
Вычисление значения называется действием возведения в степень. Это действие третьей ступени.
В выражениях со степенями, не содержащими скобки, сначала выполняют вовзведение в степень, затем умножение и деление , а в конце сложение и вычитание .
Если в выражении есть скобки, то сначала в указанном выше порядке выполняют действия в скобках, а потом оставшиеся действия в том же порядке слева направо.
Читайте также: Как открыть yml файл в excel
Для облегчения решения примеров полезно знать и пользоваться таблицей степеней, которую вы можете бесплатно скачать на нашем сайте.
Для проверки своих результатов вы можете воспользоваться на нашем сайте калькулятором «Возведение в степень онлайн».
Логарифмом называется математическое введение, которое предназначено для того чтобы найти степень числа в уравнении. Если рассматривать степень числа, то число, возводимое в степень, называется основанием степени, а сама степень – показателем степени. Так, в числе 2 3 , 2 является основанием, а 3 – показателем. Для того чтобы понять суть логарифма, рассмотрим показательное тождество (равенство с использованием степени). В выражении 2 3 =8 взаимосвязаны три числа, основание степени, показатель и значение степени – 8 . Соответственно, каждое из этих чисел может быть заменено на переменную с тем, чтобы получить уравнение.
x 3 =8
2 3 =x
2 x =8
Если первые два уравнения считаются довольно стандартными, то третье уравнение становится в отдельный ряд показательных уравнений, и при усложнении его другими алгебраическими действиями появляется необходимость ввести дополнительный элемент для его решения. Этим элементом становится логарифм.
2 x =8
log28=x
Таким образом, чтобы найти неизвестную x , нужно вычислить логарифм от 8 по 2 . Названия чисел сохраняются те же самые, что и в степени, 2 остается основанием, но теперь уже не степени, а логарифма, 8 становится телом логарифма. Если обратить внимание, то они сохраняют и свое положение, и визуально легко запомнить, что для вычисления логарифма нужно узнать в какую степень нужно возвести 2 (число внизу, слева), чтобы получить 8 (число справа, вверху).
Чтобы вычислить логарифмы с различными основаниями и телами, можно воспользоваться приведенным ниже он-лайн калькулятором логарифмов.
