Конус — это остроконечная фигура, в основании которой находится круг. Внешне он напоминает колпак. Высотой называют перпендикуляр, опущенный из вершины на основание конуса. Линия, соединяющая вершину конуса с основанием и проведённая перпендикулярно к плоскости основания, называется образующей.
Находим высоту конуса: алгоритм решения
Если задаче спрашивается, как найти высоту конуса, нам помогут свойства прямоугольного треугольника:
- Теорема Пифагора (квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов).
- Зависимость величины углов от катетов и гипотенузы: синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе; косинус угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.
Алгоритм решения задач о высоте конуса следующий:
- Начертить конус, провести высоту, обозначить все известные данные.
- Найти прямоугольный треугольник, образованный высотой и данными в задаче отрезками и углами. Если сразу не получается, сделать дополнительные построения.
- Применяя формулы для прямоугольного треугольника, найти высоту.
Как найти высоту конуса: примеры
Находим высоту прямого конуса
Если перпендикуляр, опущенный из вершины конуса на его основание, попадает в центр круга, конус называется прямым. Итак, мы имеем конус с образующей l = 16. Угол между образующей и основанием равен 30 °.
- Чертим прямой конус, высоту, образующую.
- Соединяем центр на основании конец высоты и образующей радиусом. Высота h и радиус основания – катеты прямоугольного треугольника, образующая – гипотенуза.
- Синус угла между гипотенузой-образующей и катетом-радиусом основания sin 30° = ½. Это отношение противолежащего катета – высоты h – и гипотенузы:
- sin 30° = h/l = ½
- h = sin 30°*l = ½ * 16 = 8.
Как найти высоту усечённого конуса
Усечённый конус получается, если у обычного конуса срезать вершину. Возьмём прямой усечённый конус. Диаметр верхнего основания d = 2, диаметр нижнего основания D = 4, образующая l = 4. Нужно найти высоту конуса h, т.е. расстояние между двумя 
основаниями.
- Чертим усечённый конус. Вертикальное сечение усечённого конуса – равнобедренная трапеция, и решать задачу надо, как задачу о трапеции.
- Посмотрим треугольник из высоты, образующей и отрезка диаметра а, который представляет собой разность между нижним и верхним диаметром, поделённую на два: а = (D – d)/2 = (4 – 2)/2 = 1.
- Отрезок диаметра – катет, высота h – второй катет – равен корню из разности квадратов гипотенузы и катета (теорема Пифагора):
- h = √(l² — a²) = √(4² — 1²) = √15.
- Ответ: h = √15.
Читайте также: Как настроить пульт chunghop rm 139es
Как находить высоту произвольного конуса
Предположим, у нас есть произвольный конус с основанием в виде круга. Вершина конуса выходит за пределы основания. Вертикальное сечение, проходящее через вершину и диаметр основания, представляет собой тупоугольный треугольник: две образующие l1 = 8 и l2 = 3 и диаметр D = 5. Высота h, опущенная из вершины, попадает на продолжение диаметра. Нужно найти высоту h.
Расстояние от вершины тупого угла до точки пересечения продолжения диаметра с высотой обозначим х. Получаем два прямоугольных треугольника:
- образующая l1 – диаметр плюс отрезок х – высота
- образующая l2 – отрезок х – высота.
Записываем, чему равна высота по теореме Пифагора:
- h² = l1² — (D + x)² (1)
- h² = l2² — x² (2)
Получаем систему двух уравнений, причём правые части этих уравнений равны h² и равны между собой:
- l1² — D² — 2 D х = l2²
- 2D х = l2² — l1² + D²
- х = (l2² — l1² + D²)/2D = (8² — 5² — 3²)/2*5 = (64 – 25 – 9)/10 = 3.
Конус — геометрическое тело в евклидовом пространстве, которое можно получить путем объединения каждого луча, который исходит из одной точки (вершина конуса) и которые проходят через плоскую поверхность.
Бывает, конусом называется часть тела, которая имеет ограниченный объём и которая получена путем объединения каждого отрезка, которые соединяют вершину и точки плоской поверхности. Последняя, в таком случае, является основанием конуса, а конус называется опирающимся на данное основание.
Когда основание конуса является многоугольником – это уже пирамида.
Круговой конус — это тело, состоящее из круга (основание конуса), точки, которая не лежит в плоскости этого круга (вершина конуса и всех отрезков, которые соединяют вершину конуса с точками основания).
Читайте также: Как сделать подвал сайта html
Отрезки, которые соединяют вершину конуса и точки окружности основания, называют образующими конуса. Поверхность конуса состоит из основания и боковой поверхности.
Прямой конус – это конус, в котором прямая, которая соединяет вершину конуса и центр основания, перпендикулярна плоскости основания.
Прямой круговой конус – это тело, которое получено вращением прямоугольного треугольника вокруг его катета как оси.
Высота конуса – это перпендикуляр, который опущен из вершины конуса на плоскость основания. Основание высоты в прямом конусе совпадает с центром основания.
Ось прямого кругового конуса – это прямая, которая содержит его высоту.
Сечение конуса плоскостью, который проходит через вершину конуса – это равнобедренный треугольник, боковые стороны этого треугольника являются образующими конуса.
Равнобедренным треугольником оказывается и осевое сечение конуса. Это сечение, проходящее через ось конуса.
Плоскость, которая параллельна основанию конуса и которая пересекает конус, отсекает от него конус меньшего размера. Оставшаяся часть является усеченным конусом.
Пирамида, вписанная в конус, это пирамида, у которой основание является многоугольником, вписанным в окружность основания конуса, а его вершина — это вершина конуса. Боковые ребра пирамиды, которая вписана в конус, становятся образующими конуса.
Касательная плоскость к конусу — это плоскость, которая проходит через образующую конуса и которая перпендикулярна плоскости осевого сечения, содержащей эту образующую.
Пирамида, описанная около конуса это пирамида, у которой основанием является многоугольник, который описан около основания конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса. Плоскости боковых граней описанной пирамиды — это касательные плоскости конуса.
Площадь боковой поверхности правильной n-угольной пирамиды, вписанной в конус:
где Pn – периметр основания пирамиды, а ln — апофема.
При неограниченном увеличении n периметр основания Pn неограниченно приближается к длине С окружности основания конуса, а апофема ln — к длине l образующей. Значит, боковая поверхность пирамиды неограниченно приближается к ½Cl. Поэтому величину ½ Cl принимают как площадь боковой поверхности конуса.
То есть, площадь боковой поверхности конуса определяют с помощью формулы:
где R — радиус основания конуса, а l — длина образующей.
Читайте также: Как отключить циклические ссылки в excel
По тому же принципу: для площади боковой поверхности усеченного конуса с радиусами оснований R1, R2 и образующей l получаем такую формулу:
Прямой и косой круговой конусы с равным основанием и высотой. Эти тела обладают одинаковым объёмом:
Свойства конуса.
- Когда площадь основания имеет предел, значит, объём конуса тоже имеет предел и равен третьей части произведения высоты на площадь основания.
где S — площадь основания, H — высота.
Т.о., каждый конус, который опирается на это основание и имеющие вершину, которая находится на плоскости, параллельной основанию, имеют равный объём, так как их высоты одинаковые.
- Центр тяжести каждого конуса с объёмом, имеющим предел, находится на четверти высоты от основания.
- Телесный угол при вершине прямого кругового конуса можно выразить такой формулой:
где α — угол раствора конуса.
- Площадь боковой поверхности такого конуса, формула:
а полная площадь поверхности (то есть сумма площадей боковой поверхности и основания), формула:
где R — радиус основания, l — длина образующей.
- Для усечённого конуса (не только прямого или кругового) объём, формула:
где S1 и S2 — площадь верхнего и нижнего оснований,
h и H — расстояния от плоскости верхнего и нижнего основания до вершины.
- Пересечение плоскости с прямым круговым конусом — это один из конических сечений.
ремонт своими руками
string(108) «Mozilla/5.0 (Windows NT 6.2; WOW64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/27.0.1453.93 Safari/537.36»
NULL
string(139) «user-agent=Mozilla%2F5.0+%28Windows+NT+6.2%3B+WOW64%29+AppleWebKit%2F537.36+%28KHTML%2C+like+Gecko%29+Chrome%2F27.0.1453.93+Safari%2F537.36»
Усеченный конус – часть конуса, расположенная между его основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию.
Если Вам необходим узнать по каким формулам ведется расчет для фигуры, а так же задать единицы измерения или сохранить расчет в PDF, то воспользуйтесь сайтом calc-online24.ru
