Может ли абсолютная погрешность быть отрицательной

Может ли абсолютная погрешность быть отрицательной

Абсолютная погрешность со знаком минус называется поправкой.

Относительная погрешность равна отношению абсолютной погрешности к истинному значению измеряемой величины и выражается в %:

.

Чтобы сравнить по точности измерительные приборы с разными пределами измерений, введено понятие приведенной погрешности, которая равна:

;

где ХН– нормирующее значение, которое принимается равным большему из пределов измерения, если нулевая отметка расположена на краю или вне диапазона измерений:

.

Если нулевая отметка лежит внутри диапазона измерений, то нормирующее значение определяется как сумма модулей пределов измерений:

.

Кроме того, различают следующие погрешности:

Аддитивная погрешность (абсолютная) – это погрешность, которая не зависит от измеряемой величины. Ее еще называют погрешность нуля.

Мультипликативная погрешность – это погрешность, величина которой пропорциональна измеряемой величине. Эту погрешность иногда называют погрешность чувствительности.

Точность – это величина обратная погрешности.

В зависимости от изменений во времени входной величины различают следующие погрешности:

Статическая погрешность – это погрешность, величина которой при измерении во времени постоянна.

Динамическая погрешность – это погрешность, являющейся разностью между погрешностью в динамическом режиме и статической погрешностью, которая соответствует значению измеряемой величины в данный момент времени.

Систематическую погрешность – это составляющая погрешности, остающейся постоянной или закономерно–изменяющейся при повторных измерениях одной и той же величины (может возникать из-за методической погрешности).

Случайная погрешность — это составляющая погрешности, изменяющаяся во времени случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины (пример: измерения камерой Вильсона).

В зависимости от условий возникновения погрешности различают:

Основная погрешность – это погрешность средств измерений при нормальных условиях.

Дополнительная погрешность – это погрешность средств измерения, вызванная отклонением одной или более влияющих величин от нормального значения или их выходом за пределы области нормальных значений.

Зависимость абсолютной погрешности D от входной величины Х может быть представлена на графике, показанной на рисунке 2.1. Это некоторая полоса неопределенности, которая обусловлена случайной погрешностью и изменением характеристик средств измерения под действием влияющих величин. Поэтому абсолютная погрешность ограничена двумя предельными значениями Dmax, которые могут быть как положительными, так и отрицательными.

Рисунок 2.1 – График зависимости абсолютной погрешности от входной величины.

Уравнение прямой 1 может быть выражено коэффициентами а и в

;

где а – предельное значение аддитивной погрешности;

b – предельное значение мультипликативной погрешности.

Источники аддитивной погрешности:

-трение в опорах измерительного механизма;

От аддитивной погрешности зависит наименьшее значение величины, которую может измерить прибор.

Источники мультипликативной погрешности – действие влияющих величин на элементы и узлы средств измерения.

Согласно ГОСТ 8.401-80 средствам измерения присвоены определенные классы точности.

Классом точности средств измерения называется обобщенная его характеристика, определенная пределом допускаемой, основной и дополнительной погрешностями.

Класс точности средств измерения может быть выражен числом или дробью.

Если у приборов аддитивная составляющая погрешности преобладает над мультипликативной, то все значения погрешности должны находиться в пределах, ограниченными прямыми 2, параллельными оси. Таким образом, абсолютная и приведенная погрешность прибора оказываются постоянными в любой точке шкалы. У таких приборов класс точности выражается одним числом, выбираемым из ряда: (1; 1,5; 2,5; 4; 5; 6)×10 n ,где n = 1;0;-1;-2;-3; и так далее.

У этих приборов, основная и приведенная погрешность прибора в рабочем диапазоне шкалы, выраженная в %, не должна превышать значения, соответствующего классу точности.(к ним относят большинство аналоговых, показывающих и регистрирующих приборов).

Читайте также:  Как перенести файлы ватсап на карту памяти

Класс точности средств измерений, у которых аддитивная и мультипликативная составляющая погрешности соизмеримы, обозначаются двумя числами (0,1/0,05)

Тогда пределы значений основной относительной погрешности определяются по формуле:

;

где Хк – больший по модулю из пределов измерения

си d – положительные постоянные числа, обозначающие класс точности, аддитивной и мультипликативной погрешности соответственно.

Кроме того, существует грубая погрешность измерения, величина которой существенно превышает ожидаемую погрешность при данных условиях. Результат измерения, содержащим грубую погрешность называют промахом.

2.2 Вариация показаний.

Вариация показаний – наибольшая разность показания прибора при одном и том же значении измеряемой величины и плавном подходе указателя к истинной отметке слева и справа. Она приблизительно равна удвоенному значению погрешности от трения и выражается в процентах:

;

где при одном и том же значении входной величины.

Чувствительность измерительных приборов и измерительных преобразователей называется производная его выходной величины по входной.

Для электронно-измерительных приборов формула выглядит так:

;

где l – перемещение стрелки указателя;

x — измеряемая величина.

Если чувствительность прибора постоянна:

то ее можно определять по формуле:

Из этого уравнения можем вычислить выражение для выходной величины:

.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Сдача сессии и защита диплома — страшная бессонница, которая потом кажется страшным сном. 9141 — | 7368 — или читать все.

На практике обычно числа, над которыми производятся вычисления, являются приближенными значениями тех или иных величин. Для краткости речи приближенное значение величины называют приближенным числом. Истинное значение величины называют точным числом. Приближенное число имеет практическую ценность лишь тогда, когда мы можем определить, с какой степенью точности оно дано, т.е. оценить его погрешность. Напомним основные понятия из общего курса математики.

Обозначим: x — точное число (истинное значение величины), а -приближенное число (приближенное значение величины).

Определение 1. Погрешностью ( или истинной погрешностью) приближенного числа называется разность между числом x и его приближенным значением а. Погрешность приближенного числа а будем обозначать . Итак,

. (2.1)

Погрешность может быть числом положительным, отрицательным или равным нулю.

Определение 2. Абсолютной погрешностью приближенного числа а называется модуль разности между числом х и его приближенным значением а.

Абсолютную погрешность приближенного числа а будем обозначать , т.е.

. (2.2)

Точное число x чаще всего бывает неизвестно, поэтому найти истинную и абсолютную погрешности не представляет возможным. С другой стороны, бывает необходимо оценить абсолютную погрешность, т.е. указать число, которого не может превысить абсолютная погрешность. Например, измеряя длину предмета данным инструментом, мы должны быть уверены в том, что погрешность полученного числового значения не превысит некоторого числа, например 0,1 мм. Другими словами, мы должны знать границу абсолютной погрешности. Эту границу будем называть предельной абсолютной погрешностью.

Определение 3. Предельной абсолютной погрешностью приближенного числа а называется положительное число такое, что , т.е.

. (2.3)

Из формулы (2.3) получаем:

(2.4)

Значит, есть приближенное значение числа х по недостатку, — по избытку. Применяют также такую запись:

. (2.5)

Ясно, что предельная абсолютная погрешность определяется неоднозначно: если некоторое число есть предельная абсолютная погрешность, то любое большее число тоже есть предельная абсолютная погрешность. На практике стараются выбирать возможно меньшее и простое по записи (с 1-2 значащими цифрами) число , удовлетворяющее неравенству (2.3).

Читайте также:  Почему не работает безлимит на соцсети теле2

Пример. Определить истинную, абсолютную и предельную абсолютную погрешности числа а = 0,17, взятого в качестве приближенного значения числа .

Истинная погрешность:

Абсолютная погрешность:

За предельную абсолютную погрешность можно принять число и любое большее число. В десятичной записи будем иметь: Заменяя это число большим и возможно более простым по записи, примем:

Замечание. Если а есть приближенное значение числа х, причем предельная абсолютная погрешность равна h, то говорят, что а есть приближенное значение числа х с точностью до h.

Знания абсолютной погрешности недостаточно для характеристики качества измерения или вычисления. Пусть, например, получены такие результаты при измерении длины. Расстояние между двумя городами S1=500 1 км и расстояние между двумя зданиями в городе S2=10 1 км. Хотя абсолютные погрешности обоих результатов одинаковы, однако существенное значение имеет то, что в первом случае абсолютная погрешность в 1 км приходится на 500 км, во втором — на 10 км. Качество измерения в первом случае лучше, чем во втором. Качество результата измерения или вычисления характеризуется относительной погрешностью.

Определение 4. Относительной погрешностью приближенного значения а числа х называется отношение абсолютной погрешности числа а к абсолютному значению числа х:

. (2.6)

Так, как точное число обычно бывает неизвестно, его заменяют приближенным числом:

. (2.7)

Определение 5. Предельной относительной погрешностью приближенного числа а называется положительное число такое, что .

Так как , то из формулы (2.7) следует, что можно вычислить по формуле

. (2.8)

Для краткости речи в тех случаях, когда это не вызывает недоразумений, вместо “предельная относительная погрешность” говорят просто “относительная погрешность”.

Предельную относительную погрешность часто выражают в процентах.

Пример 1. . Полагая , можем принять = . Производя деление и округляя (обязательно в сторону увеличения), получим =0,0008=0,08%.

Пример 2. При взвешивании тела получен результат: p=23,4 0,2 г. Имеем =0,2. . Производя деление и округляя, получим =0,9%.

Формула (2.8) определяет зависимость между абсолютной и относительной погрешностями. Из формулы (2.8) следует:

. (2.9)

Пользуясь формулами (2.8) и (2.9), мы можем, если известно число а, по данной абсолютной погрешности находить относительную погрешность и наоборот.

Заметим, что формулы (2.8) и (2.9) часто приходится применять и тогда, когда мы еще не знаем приближенного числа а с требуемой точностью, а знаем грубое приближенное значение а. Например, требуется измерить длину предмета с относительной погрешностью не выше 0,1%. Спрашивается: возможно ли измерить длину с нужной точностью при помощи штангенциркуля, позволяющего измерить длину с абсолютной погрешностью до 0,1 мм? Пусть мы еще не измеряли предмет точным инструментом, но знаем, что грубое приближенное значение длины — около 12 см. По формуле (1.9) находим абсолютную погрешность:

мм

Отсюда видно, что при помощи штангенциркуля возможно выполнить измерение с требуемой точностью.

В процессе вычислительной работы часто приходится переходить от абсолютной погрешности к относительной, и наоборот, что делается с помощью формул (1.8) и (1.9).

Абсолютной погрешностью или, короче, погрешностью приближенного числа называется разность между этим числом и его точным значением (из большего числа вычитается меньшее)*.

Пример 1. На предприятии 1284 рабочих и служащих. При округлении этого числа до 1300 абсолютная погрешность составляет 1300 — 1284 = 16. При округлении до 1280 абсолютная погрешность составляет 1284 — 1280 = 4.

Относительной погрешностью приближенного числа называется отношение абсолютной погрешности приближенного числа к самому этому числу.

Читайте также:  Как подключить микрофон к компьютеру через двд

Пример 2. В школе 197 учащихся. Округляем это число до 200. Абсолютная погрешность составляет 200 — 197 = 3. Относительная погрешность равна 3/197 или, округленно, 3/197 = 1,5 %.

В большинстве случаев невозможно узнать точное значение приближенного числа, а значит, и точную величину погрешности. Однако почти всегда можно установить, что погрешность (абсолютная или относительная) не превосходит некоторого числа.

Пример 3. Продавец взвешивает арбуз на чашечных весах. В наборе гирь наименьшая — 50 г. Взвешивание дало 3600 г. Это число – приближенное. Точный вес арбуза неизвестен. Но абсолютная погрешность не превышает 50 г. Относительная погрешность не превосходит 50/3600 ≈ 1,4%.

Число, заведомо превышающее абсолютную погрешность (или в худшем случае равное ей), называется предельной абсолютной погрешностью. Число, заведомо превышающее относительную погрешность (или в худшем случае равное ей), называется предельной относительной погрешностью.

В примере 3 за предельную абсолютную погрешность можно взять 50 г, а за предельную относительную погрешность — 1,4 %.

Величина предельной погрешности не является вполне определенной. Так, в примере 3 можно принять за предельную абсолютную погрешность 100 г, 150 г и вообще всякое число, большее чем 50 г. На практике берется по возможности меньшее значение предельной погрешности. В тех случаях, когда известна точная величина погрешности, эта величина служит одновременно предельной погрешностью. Для каждого приближенного числа должна быть известна его предельная погрешность (абсолютная или oотносительная). Когда она прямо не указана, подразумевается что предельная абсолютная погрешность составляет половину единицы последнего выписанного разряда. Так, если приведено приближенное число 4,78 без указания предельной погрешности, то подразумевается, что предельная абсолютная погрешность составляет 0,005. Вследствие этого соглашения всегда можно обойтись без указания предельной погрешности числа.

Предельная абсолютная погрешность обозначается греческой буквой Δ («дельта»); предельная относительная погрешность — греческой буквой δ («дельта малая»). Если приближенное число обозначить буквой а, то

δ = Δ/a.

Пример 4. Длина карандаша измерена линейкой с миллиметровыми делениями. Измерение показало 17,9 см. Какова предельная относительная погрешность этого измерения?
Здесь а = 17,9 см; можно принять Δ = 0,1 см, так как с точностью до 1 мм измерить карандаш нетрудно, a значительно уменьшить, предельную погрешность ни удастся (при навыке можно прочесть на хорошей линейке и 0,02 и даже 0,01 см, но у самого карандаша ребра могут разниться на бoльшую величину). Относительная погрешность равна 0,1/17,9. Округляя, находим δ = 0,1/18 ≈ 0,6%.

Пример 5. Цилиндрический поршень имеет около 35 мм в диаметре. С какой точностью нужно его измерить микрометром, чтобы предельная относительная погрешность составляла 0,05%?
Решение. По условию, предельная абсолютная погрешность должна составлять 0,05% от 35 мм. Следовательно, предельная абсолютная погрешность равна 36*(0,05/100) = 0,0175 (мм) или, усиливая, 0,02 (мм). Можно воспользоваться формулой δ = Δ/a. Подставляя в неё а = 35, δ = 0,0005, имеем 0,0005 = Δ/35. Значит, Δ = 35 • 0,0005 = 0,0175 (мм).

* Иначе говоря, если a есть приближенное число, а х – его точное значение, то абсолютная погрешность есть абсолютное значение разности a – х. В некоторых руководствах абсолютной погрешностью называется сама разность a – х (или разность х — a). Эта величина может быть положительной или отрицательной.

Ссылка на основную публикацию
Луноход на поверхности луны
Луноход-1 Аппарат 8ЕЛ № 203 Заказчик СССР Производитель СССР НПО Лавочкина (головное предприятие), ВНИИТрансмаш (шасси спускаемых аппаратов) Оператор СССР Задачи...
Компьютер дос немесе жау
Тақырыбы: Компьютер дос па, жау ма? Мақсаты: Оқушылардың уақытты үнемді пайдаланып , компьютерді тек өз уақытымен пайдалануға дағдыландыру, ғылым-білімге жетелей...
Компьютер не видит принтер canon lbp 2900
Практически каждый из нас может сталкиваться с такой проблемой, когда компьютер вдруг перестает видеть принтер, а иногда компьютер не видит...
Мак мини не включается
Ситуации, когда Mac mini не запускается, достаточно редки, однако случаются. Прежде чем обращаться за помощью в нашу мастерскую, постарайтесь для...
Adblock detector