Шаблон функции у 2х2

Функция вида y=x 2

Правило
y = x 2 — частный случай квадратичной функции при a = 1 , b = c = 0.

График функции — парабола.

Свойства функции

Свойства

1) Если x = 0, то y = 0, т.е. парабола проходит через начало координат т. (0,0).

2) Если x ? 0, то y > 0, т.е. парабола лежит выше оси абсцисс OX.

3) График симметричен относительно оси OY, так как x 2 = (-x) 2 , т.е. значениям x и -x соответствует одно и тоже значение y.
Ось OY — ось симметрии параболы.
Вершина параболы — т. O(0,0) — точка пересечения параболы с ее осью симметрии.

4) При x > 0 функция y = x 2 возрастает, т.е. большим значениям x соответствуют большие значения y.
При x 2 убывает, т.е. большим x соответствуют меньшие y.

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно по теме “Графики функций”.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

• Декартова система координат

• Функция

Система координат – это две взаимно перпендикулярные координатные прямые, пересекающиеся в точке, которая является началом отсчета для каждой из них.

Координатные оси – прямые, образующие систему координат.

Ось абсцисс (ось x ) – горизонтальная ось.

Ось ординат (ось y ) – вертикальная ось.

Функция – это отображение элементов множества X на множество Y . При этом каждому элементу x множества X соответствует одно единственное значение y множества Y .

Линейная функция – функция вида y = a x + b где a и b – любые числа.

Графиком линейной функции является прямая линия.

Рассмотрим, как будет выглядеть график в зависимости от коэффициентов a и b :

Если a > 0 , прямая будет проходить через I и III координатные четверти.

b – точка пересечения прямой с осью y .

Если a 0 , прямая будет проходить через II и IV координатные четверти.

b – точка пересечения прямой с осью y .

Если a = 0 , функция принимает вид y = b .

Отдельно выделим график уравнения x = a .

Важно : это уравнение не является функцией так как нарушается определение функции ( функция ставит в соответствие каждому элементу x множества X одно единственно значение y множества Y ). Данное уравнение ставит в соответствие одному элементу x бесконечное множества элементов y . Тем не менее, график данного уравнения построить можно. Просто не будем называть его гордым словом «Функция».

Читайте также:  Как узнать пол компьютера windows 10

Графиком функции y = a x 2 + b x + c является парабола .

Для того, чтобы однозначно определить, как располагается график параболы на плоскости, нужно знать, на что влияют коэффициенты a , b , c :

1. Коэффициент a указывает на то, куда направлены ветки параболы.

• Если a > 0 , ветки параболы направлены вверх.
• Если a 0 , ветки параболы направлены вниз.

1. Коэффициент c указывает, в какой точке парабола пересекает ось y .
2. Коэффициент b помогает найти x в – координату вершины параболы.

1. Дискриминант позволяет определить, сколько точек пересечения у параболы с осью .

• Если D > 0 – две точки пересечения.
• Если D = 0 – одна точка пересечения.
• Если D 0 – нет точек пересечения.

Графиком функции y = k x является гипербола .

Характерная особенность гиперболы в том, что у неё есть асимптоты.

Асимптоты гиперболы – прямые, к которым она стремится, уходя в бесконечность.

Ось x – горизонтальная асимптота гиперболы

Ось y – вертикальная асимптота гиперболы.

На графике асимптоты отмечены зелёной пунктирной линией.

Если коэффициент k > 0 , то ветви гиперолы проходят через I и III четверти.

0″ height=»346″ width=»346″ sizes=»(max-width: 346px) 100vw, 346px» data-srcset=»/wp-content/uploads/2017/01/Гипербола-1.png 346w,/wp-content/uploads/2017/01/Гипербола-1-150×150.png 150w,/wp-content/uploads/2017/01/Гипербола-1-300×300.png 300w,/wp-content/uploads/2017/01/Гипербола-1-176×176.png 176w,/wp-content/uploads/2017/01/Гипербола-1-60×60.png 60w, https://epmat.ru/wp-content/uploads/2017/01/Гипербола-1.png»>

Если k 0, ветви гиперболы проходят через II и IV четверти.

Чем меньше абсолютная величина коэффиента k (коэффициент k без учета знака), тем ближе ветви гиперболы к осям x и y .

Функция y = x имеет следующий график:

Функция y = f ( x ) возрастает на интервале , если большему значению аргумента (большему значению x ) соответствует большее значение функции (большее значение y ) .

То есть чем больше (правее) икс, тем больше (выше) игрек. График поднимается вверх (смотрим слева направо)

Примеры возрастающих функций:

Функция y = f ( x ) убывает на интервале , если большему значению аргумента (большему значению x ) соответствует меньшее значение функции (большее значение y ) .

То есть чем больше (правее) икс, тем меньше (ниже) игрек. График опускается вниз (смотрим слева направо).

Примеры убывающих функций:

Для того, чтобы найти наибольшее значение функции , находим самую высокую точку на графике и смотрим, какая у нее координата по оси ординат (по оси y ) . Это значение и будет являться наибольшим значением функции.

Читайте также:  Как правильно выделять абзацы

Для того, чтобы найти наименьшее значение функции , находим самую нижнюю точку на графике и смотрим, какая у нее координата по оси ординат (по оси y ) . Это значение и будет являться наименьшим значением функции.

Разделы: Математика

I. Опрос учащихся
Что называется функцией?

(Функцией называется зависимость одной переменной от другой, при которой каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной)

Что называется областью определения функции?

(Все значения, которые принимает независимая переменная (аргумент), .образуют область определения функции)

(Все значения, которые принимает зависимая переменная, называются значениями функции)

а) с линейной функцией вида у = кх + b,

прямой пропорциональностью вида у = кх

б) с функциями вида у = х 2 , у = х 3

Не выполняя построения, определите взаимное расположение графиков функций, заданных следующими формулами:

а) у = Зх + 2; у = 1,2х + 5;

b) y = 1,5х + 4; у = -0,2х + 4; у = х + 4;

с) у = 2х + 5; у = 2х — 7; у = 2х

На рисунке изображены графики линейных функций (каждому ученику на парту выдается листок с построенными графиками). Напишите формулу для каждого графика

С графиками каких функций мы с вами ещё знакомы? (у = х 2 ; у = х 3)

1. Что является графиком функции у = х 2 (парабола).
2. Сколько точек нам необходимо построить для изображения параболы? (7, одна из которых является вершиной параболы).

Давайте построим параболу, заданную формулой у = х 2

x-3-2-1123у = х 2 941149у = х 2 + 2116323611

Какими свойствами обладает график функции у = х 3 ?

1. Если х = 0, то у = 0 — вершина параболы (0;0)
2. Область определения: х — любое число, Д(у) = (- ?; ?)Д(у) = R
3. Область значений у ? 0
4. E(y) = [0; ?) (квадратные скобки говорят о непрерывности функции, об этом мы будем говорить в старших классах).
5. (-х) 2 = х 2 — функция четная. График симметричен относительно оси у, т.е. прямой х = 0.
6. Функция убывает на промежутке (-?; 0]
7. Функция возрастает на промежутке [0;?)

Читайте также:  Приемы милены в мортал комбат

Как вы думаете, как будет расположен график функции у = х 2 + 2? Давайте его построим (заполнить таблицу значений).

Ребята, посмотрите по таблице, какие координаты меняются.

Давайте исследуем график функции у = х + 2

г) (-х) 2 + 2 = х 2 +2 — функция четная

д) Функция убывает на промежутке (-;0]

Функция возрастает на промежутке [0;).

Что изменилось в свойствах? (изменилась область значений функции, изменились координаты вершины параболы).

Как вы думаете, как будет расположен график функции у = х 2 — 2?

Постройте с помощью шаблона (Свойства устно).

С помощью шаблона постройте график функции у = — х 2 .

Свойства:

1. вершина (0; 0)
2. Д(у)=(- ; )
3. Е(у)= (-;)
4. Функция четная — х 2 = -(-х) 2
5. Функция возрастает на промежутке (-: 0],
6. убывает на промежутке [0; ).

С помощью шаблона постройте график функции у = -х 2 + 2.

Работа по рисунку:

Определите вершину параболы (-3; 0)

y = (х + 3) 2 — формула параболы

Свойства функции:

2). Д(у)=(- ; )

3). E(у)=[0; )

4). Функция возрастает на промежутке [-3;+),

5). Функция убывает на промежутке (-;-3].

Постройте с помощью шаблона графики функций, заданных формулами

Исследуйте одну на выбор.

IV. Домашнее задание

В одной координатной плоскости построить графики функций

Исследовать эти функции.

Итог урока: на уроке мы научились строить график параболы, задавать формулу параболы и описывать ее свойства