Сколько диагоналей имеет выпуклый n угольник

Найдите число диагоналей восьмиугольника.

Число диагоналей n-угольника равно Отсюда получаем:

Восьмиугольник имеет 20 диагоналей.

Найдите число диагоналей двенадцатиугольника.

Известно, что в многоугольнике можно провести 27 диагоналей. Сколько диагоналей можно провести из одной вершины многоугольника?

Число диагоналей выпуклого n-угольника равно Отсюда найдём количество сторон многоугольника, решив уравнение:

Значит, из одной вершины этого многоугольника можно провести 9 − 3 = 6 диагоналей.

Учащиеся, незнакомые с техникой решения квадратных уравнений, могут привести уравнение к виду проверить подстановкой значения 4, 5, . 9, найти подбором решение и заметить, что при больших n левая часть уравнения больше 54, а значит, других решений нет.

уЛПМШЛП ДЙБЗПОБМЕК ЙНЕЕФ ЧЩРХЛМЩК:
Б) 10-ХЗПМШОЙЛ; В) k -ХЗПМШОЙЛ ( k > 3)?

тЕЫЕОЙЕ 1

В) лБЦДБС РБТБ ФПЮЕЛ ПВТБЪХЕФ ПФТЕЪПЛ: УФПТПОХ ЙМЙ ДЙБЗПОБМШ. чЩЮЙФБС ЙЪ ЮЙУМБ РБТ ЮЙУМП k УФПТПО, РПМХЮЙН ЮЙУМП ДЙБЗПОБМЕК.

тЕЫЕОЙЕ 2

В) йЪ ЛБЦДПК ЧЕТЫЙОЩ ЧЩИПДЙФ k – 3 ДЙБЗПОБМЙ. хНОПЦБС ОБ ЮЙУМП ЧЕТЫЙО Й РПДЕМЙЧ ОБ 2 (РПУЛПМШЛХ ЛБЦДБС ДЙБЗПОБМШ УПЕДЙОСЕФ ДЧЕ ЧЕТЫЙОЩ), РПМХЮЙН ЮЙУМП ДЙБЗПОБМЕК.

пФЧЕФ

Б) 35; В) ДЙБЗПОБМЕК.

йУФПЮОЙЛЙ Й РТЕГЕДЕОФЩ ЙУРПМШЪПЧБОЙС

ЛОЙЗБ бЧФПТзЕОЛЙО у.б., йФЕОВЕТЗ й.ч., жПНЙО д.ч.зПД ЙЪДБОЙС1994оБЪЧБОЙЕмЕОЙОЗТБДУЛЙЕ НБФЕНБФЙЮЕУЛЙЕ ЛТХЦЛЙйЪДБФЕМШУФЧПлЙТПЧ: «буб»йЪДБОЙЕ1ЗМБЧБ оПНЕТ3оБЪЧБОЙЕлПНВЙОБФПТЙЛБ-1фЕНБлМБУУЙЮЕУЛБС ЛПНВЙОБФПТЙЛБ ЪБДБЮБоПНЕТ023ЛОЙЗБ бЧФПТбМЖХФПЧБ о.в., хУФЙОПЧ б.ч.зПД ЙЪДБОЙС2002оБЪЧБОЙЕбМЗЕВТБ Й ФЕПТЙС ЮЙУЕМйЪДБФЕМШУФЧПнгонпйЪДБОЙЕ1ЗМБЧБ оПНЕТ2оБЪЧБОЙЕлПНВЙОБФПТЙЛБфЕНБлПНВЙОБФПТЙЛБ РБТБЗТБЖ оПНЕТ3оБЪЧБОЙЕтБЪНЕЭЕОЙС, РЕТЕУФБОПЧЛЙ Й УПЮЕФБОЙСфЕНБлМБУУЙЮЕУЛБС ЛПНВЙОБФПТЙЛБ ЪБДБЮБоПНЕТ02.057

рТПЕЛФ ПУХЭЕУФЧМСЕФУС РТЙ РПДДЕТЦЛЕ Й .

Инструменты пользователя

Инструменты сайта

Содержание

Определение

Ломаной линией, или короче, ломаной, называется конечная последовательность отрезков, такая, что один из концов первого отрезка служит концом второго, другой конец второго отрезка служит концом третьего и т.д. При этом соседние отрезки не лежат на одной прямой. Эти отрезки называют звеньями ломаной.

Читайте также:  Тольятти 43 письмо заказное откуда

Виды ломаной

Определение

Простая замкнутая ломаная вместе с частью плоскости, ограниченной ею, называется многоугольником.

Замечание

В каждой вершине многоугольника его стороны задают некоторый угол многоугольника. Он может быть как меньше развернутого, так и больше развернутого.

Свойство

У каждого многоугольника есть угол, меньший $180^circ$.

Доказательство

Пусть дан многоугольник $P$.

Проведем какую-нибудь прямую, не пересекающую его. Будем перемещать ее параллельно в сторону многоугольника. В некоторый момент мы впервые получим прямую $a$, имеющую с многоугольником $P$ хотя бы одну общую точку. От этой прямой многоугольник лежит по одну сторону (при этом некоторые его точки лежат на прямой $a$).

На прямой $a$ лежит хотя бы одна вершина многоугольника. В ней сходится две его стороны, расположенные по одну сторону от прямой $a$ (считая и тот случай, когда одна из них лежит на этой прямой). А значит, при этой вершине угол меньше развернутого.

Определение

Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, содержащей его сторону. Если многоугольник не является выпуклым, его называют невыпуклым.

Замечание

Выпуклый многоугольник является пересечением полуплоскостей, ограниченных прямыми, которые содержат стороны многоугольника.

Свойства выпуклого многоугольника

Доказательство

Докажем первое свойство

Возьмем любой угол $A$ выпуклого многоугольника $P$ и его сторону $a$, идущую из вершины $A$. Пусть $l$ – прямая, содержащая сторону $a$. Так как многоугольник $P$ выпуклый, то он лежит по одну сторону от прямой $l$. Следовательно, и его угол $A$ лежит по одну сторону от этой прямой. Значит угол $A$ меньше развернутого угла, то есть меньше $180^circ$.

Докажем второе свойство

Возьмем любые две точки $A$ и $B$ выпуклого многоугольника $P$. Многоугольник $P$ является пересечением нескольких полуплоскостей. Отрезок $AB$ содержится в каждой из этих полуплоскостей. Поэтому он содержится и в многоугольнике $P$.

Читайте также:  Как отключить автопродление касперского

Определение

Диагональю многоугольника называется отрезок, соединяющий его несоседние вершины.

Теорема (о количестве диагоналей n-угольника)

Количество диагоналей выпуклого $n$-угольника вычисляется по формуле $dfrac<2>$.

Доказательство

Из каждой вершины n-угольника можно провести $n-3$ диагонали (нельзя провести диагональ в соседние вершины и в саму эту вершину). Если посчитать все такие возможные отрезки, то их будет $ncdot(n-3)$, так как вершин $n$. Но каждая диагональ будет посчитана дважды. Таким образом, количество диагоналей n-угольника равно $dfrac<2>$.

Теорема (о сумме углов n-угольника)

Сумма углов выпуклого $n$-угольника равна $180^circ(n-2)$.

Доказательство

Рассмотрим $n$-угольник $A_1A_2A_3ldots A_n$.

Возьмём внутри этого многоугольника произвольную точку $O$.

Сумма углов всех треугольников $A_1OA_2$, $A_2OA_3$, $A_3OA_4$, ldots, $A_OA_n$ равна $180^circcdot n$.

C другой стороны эта сумма складывается из суммы всех внутренних углов многоугольника и полного угла $angle O=angle 1+angle 2+angle 3+ldots=30^circ$.

Тогда сумма углов рассматриваемого $n$-угольника равна $180^circcdot n-360^circ=180^circcdot(n-2)$.

Следствие

Сумма углов невыпуклого $n$-угольника равна $180^circ(n-2)$.

Доказательство

Рассмотрим многоугольник $A_1A_2ldots A_n$, у которого только угол $angle A_2$ невыпуклый, то есть $angle A_2>180^circ$.

Обозначим сумму его улов $S$.

Соединим точки $A_1A_3$ и рассмотрим многоугольник $A_1A_3ldots A_n$.

Сумма углов этого многоугольника равна:

$180^circcdot(n-1-2)=S-angle A_2+angle 1+angle 2=S-angle A_2+180^circ-angle A_1A_2A_3=S+180^circ-(angle A_1A_2A_3+angle A_2)=S+180^circ-360^circ$.

Если у исходного многоугольника более одного невыпуклого угла, то описанную выше операцию можно проделать с каждым таким углом, что и приведет к доказываемому утверждению.

Теорема (о сумме внешних углов выпуклого n-угольника)

Сумма внешних углов выпуклого $n$-угольника равна $360^circ$.

Доказательство

Внешний угол при вершине $A_1$ равен $180^circ-angle A_1$.

Сумма всех внешних углов равна:

$sumlimits_(180^circ-angle A_n)=ncdot180^circ — sumlimits_A_n=ncdot180^circ — 180^circcdot(n-2)=360^circ$.