Пусть совокупность событий H1,H2,…,Hn — образуют полную группу событий, а также их объединение даёт достоверное событие и они попарно несовместные. В случае наступления каждого из событий Hi, событие А может настать с некоторой условной вероятностью PHi·(A)
События Hi называют гипотезами.
Запишем формулу полной вероятности:
или эту формулу можно представить в следующем виде:
Пример 1
В пирамиде пять винтовок, три из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок произведет один выстрел из наудачу взятой винтовки.
Решение
А — «мишень поражена»
H1 : «выстрел из винтовки с оптическим прицелом»
H2 : «выстрел из винтовки без оптического прицела»
Р(H1)=3/5=0.6, Р(H2) =2/5=0.4
РH1(А)=0.95, РH2(А)=0.7
Итак, по формуле полной вероятности находим вероятность
Пример 2
В вычислительной лаборатории имеются шесть клавишных автоматов и четыре полуавтомата. Вероятность того, что за время выполнения некоторого расчета автомат не выйдет из строя, равна 0,95; для полуавтомата эта вероятность равна 0,8. Студент производит расчет на наудачу выбранной машине. Найти вероятность того, что до окончания расчета машина не выйдет из строя.
Решение
А — «до конца расчета машина не выйдет из строя»
H1 — «клавишный автомат не выйдет из строя»
H2 — «полуавтомат не выйдет из строя»
Из условия задачи получаем
Условные вероятности равны
РH1(А)=0.95, РH2(А)=0.8
Воспользуемся формулу полной вероятности, имеем:
=0,6·0,95+0,4·0,8=0,89
Пример 3
Экзамен сдают студенты трех групп. В первой группе 7, во второй 6 и в третьей 8 студентов. Студент из первой группы сдаст экзамен с вероятностью 0.9, из второй группы с вероятностью 0.8 и из третьей группы с вероятностью 0.7. С какой вероятностью сдаст экзамен случайно вызванный студент?
Решение
Cобитые А — «случайно вызванный студент сдаст экзамен»
Н1: студент из 1-ой группы
Н2: студент из 2-ой группы
Н3: студент из 3-ей группы
По формуле полной вероятности получаем:
=7/21·0.9+6/21·0.8+8/21·0.7=0.795
Пример 4
В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых; во второй урне 20 шаров, из них 4 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу взят один шар. Найти вероятность того, что взят белый шар.
Решение
A— «наудачу извлечённый из двух выбранных шаров — белый шар»
H1: «шар извлечен из первой урны»
H2: «шар извлечен из второй урны»
По условию задачи, следует, что из каждой урны извлекается одинаковое количество шаров, тогда получаем вероятности
Найдем условные вероятности того, что из первой урны
и второй урны извлечен белый шар
Применяя формулу полной вероятности, найдем вероятность того, что взят белый шар
Цель: Формирование навыков решения задач с использованием формул полной вероятности и Бейеса. Решение задач по нахождению вероятности появления данного события в серии из однородных независимых испытаний с использованием формул Бернулли, Пуассона и локальной теоремы Лапласа.
Читайте также: Как дублировать экран телефона на телевизор sony
1. Формула полной вероятности. Гипотезы. 2. Формула Бейеса. 3. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число. 4. Локальная теорема Лапласа. 5. Формула Пуассона.
Примеры решения типовых задач
Пример 6.1. В сборочный цех завода поступает 40% деталей из I цеха и 60% – из II цеха. В I цехе производится 90% стандартных деталей, а во II – 95%. Найти вероятность того, что наудачу взятая сборщиком деталь окажется стандартной.
Событие А – взятая наудачу деталь стандартная. Возможны две гипотезы 
– деталь изготовлена цехомI. 
– II цехом. События 
и 
– образуют полную группу.
; 
.
–условная вероятность события А при условии гипотезы 
.
–условная вероятность события А при условии гипотезы 
.
По формуле полной вероятности: 
.
.
Пример 6.2. В пирамиде 10 винтовок, из которых 4 снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,8. Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки. Какова вероятность того, что она была с оптическим прицелом?
Интересующее нас событие 
– стрелок поразил мишень. Нам необходимо найти вероятность того, что мишень была поражена из винтовки с оптическим прицелом
. Воспользуемся теоремой Бейеса:
Здесь 
– гипотеза, которая заключается в том, что была выбрана винтовка с оптическим прицелом,
;
– гипотеза, которая заключается в том, что была выбрана винтовка без оптического прицела,
. Условные вероятности равны:
,
.
.
Пример 6.3. Футболист выполняет пенальти. Вероятность того, что он забьет гол равна 0,8. Найти вероятность того, что в серии из 5 пенальти данный футболист забьет 3 мяча.
Воспользуемся формулой Бернулли:
Найдем сначала число сочетаний: 
.
.
Пример 6.4. Найти вероятность того, что событие 
наступит ровно 70 раз в 243 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,25.
Воспользуемся локальной теоремой Лапласа: 
.
,
.
,
,
,
.
.
Найдем значение аргумента 
.
По таблице находим 
. Искомая вероятность равна:
.
Задачи для самостоятельного решения
6.1. Электролампы изготавливаются на двух заводах. Первый завод производит 45% общего количества электроламп, второй – 55%. Продукция первого завода содержит 90% стандартных ламп, второго – 80%. В магазин поступает продукция всех двух заводов. Какова вероятность того, что купленная в магазине лампа окажется стандартной?
6.2. Два автомата производят детали, которые поступают на общий конвейер. Вероятность получения нестандартной детали на первом автомате равна 0,075, а на втором – 0,09. Производительность второго автомата вдвое больше, чем первого. Найти вероятность того, что наугад взятая деталь стандартная.
6.3. Имеются две одинаковые урны с шарами. В первой урне содержатся три черных и один белый шар, во второй – один черный и два белых. Наугад выбирают одну из урн и из нее вынимают шар. 1) Найти вероятность того, что шар был белым. 2) Предположим, что шар оказался белым. Какова вероятность того, что он был вынут из первой урны. Выбор урны считать равновероятным.
Читайте также: Philips 32pfl5604 60 не включается индикации нет
6.4. Завод выпускает три типа предохранителей для магнитофона. Доля каждого из них в общем объеме составляет: 30%; 50% и 20% соответственно. При перегрузке сети предохранитель первого типа срабатывает с вероятностью 0,8; второго – 0,9; третьего – 0,85. Какова вероятность того, что выбранный произвольно предохранитель сработал при перегрузке сети?
6.5. Турист может пообедать в 3 столовых города. Вероятность того, что он отправится к первой столовой 
, ко второй –
и к третьей –
. Вероятность того, что эти столовые закрыты следующие: первая –
; вторая –
и третья –
. Турист пришел в одну из столовых и пообедал. Какова вероятность того, что он направился ко второй столовой.
6.6. В следственном изоляторе находятся 8 правонарушителей, задержанных за хулиганство, 12 за кражу и 5 за мошенничество. Вероятность того, что правонарушителя отпустят под залог для первого вида правонарушителей равна 0,75; для второго – 0,5; для третьего – 0,25. Правонарушителя выпустили под залог. Какова вероятность того, что он был задержан за мошенничество.
6.7. Вероятность взрыва при химической реакции равна 0,05. Найти вероятность того, что в серии из 7 синтезов взрыв произойдет 3 раза.
6.8. Игральный кубик бросается 6 раз. а) Найти вероятность того, что шестерка выпадет 2 раза; б) наивероятнейшее число 
.
6.9. Найти вероятность того, что событие 
наступит 1400 раз в 2400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,6.
6.10. Всхожесть семян оценивается вероятностью 0,9. Найти вероятность того, что из 400 посеянных семян взойдет 350.
6.11. Вероятность ДТП на данном участке дороги в течение суток равна 0,01. Найти вероятность того, что в течение 25 суток на данном участке произойдет одно ДТП. При расчетах использовать формулу Пуассона.
6.12. Учебник издан тиражом 10000 экземпляров. Вероятность того, что брошюровка неправильная, равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит ровно 5 бракованных книг.
6.13. Предположим, что 5% всех мужчин и 0,25% всех женщин дальтоники. Наугад выбранное лицо страдает дальтонизмом. Какова вероятность того, что это мужчина? (Считать, что мужчин и женщин одинаковое число.)
6.14. Согласно учетным данным, рецидивисты составляют 60% от общего числа установленных правонарушителей. Органы правопорядка задержали 8 нарушителей. Какова вероятность того, что среди задержанных трое рецидивистов?
1.В вычислительной лаборатории имеются шесть клавишных автоматов и четыре полуавтомата. Вероятность того, что за время выполнения некоторого расчета автомат не выйдет из строя, равна 0,95; для полуавтомата эта вероятность равна 0,8. Студент производит расчет на машине, выбранной наугад. Найти вероятность того, что до окончания расчета машина не выйдет из строя.2.В пирамиде пять винтовок, три из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразить мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок произведет выстрел из винтовки, выбранной наугад.3.В ящике 12 деталей, изготовленных на заводе № 1, 20 деталей – на заводе № 2 и 18 деталей – на заводе № 3. Вероятность того, что деталь, изготовленная на заводе № 1, отличного качества, равна 0,9; для деталей, изготовленных на заводах № 2 и № 3, эти вероятности соответственно равны 0,6 и 0,9. Найти вероятность того, что извлеченная наудачу деталь окажется отличного качества.4.В первой урне 10 шаров, из них 8 белых; во второй урне 20 шаров, из них 4 белых. Из каждой урны наугад извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров наугад взят один шар. Найти вероятность того, что взят белый шар.Читайте также: Glary utilities как пользоваться5.Вероятность того, что во время работы цифровой электронной машины произойдет сбой в арифметическом устройстве, в оперативной памяти, в остальных устройствах, относятся как 3:2:5.Вероятности обнаружения сбоя в арифметическом устройстве, в оперативной памяти и в остальных устройствах соответственно равны 0,8; 0,9; 0,9. Найти вероятность того, что возникший в машине сбой будет обнаружен.6.Студент Петров знает не все экзаменационные билеты. Что для него выгоднее: отвечать первым или вторым?
Формула Бейеса
Допустим, событие А может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий (гипотез) В1, В2, . . . Вn, которые образуют полную группу событий. Если событие А уже произошло, то вероятности гипотез могут быть переоценены по формуле Бейеса:
РА(Вi) =P(Вi) . PВi(A)(i = 1, 2, . . . n)P(A)
Примеры:
1. Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат производит в среднем 60% деталей отличного качества, второй – 84%. Наугад взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом.
Решение
Обозначим: А – деталь отличного качества
Можно сделать два предположения (гипотезы):
В1 – деталь произведена первым автоматом, причем, Р(В1) = 2/3
В2– деталь произведена вторым автоматом, причем Р(В2) = 1/3
Условная вероятность того, что деталь будет отличного качества, если она произведена:
— первым автоматом РВ1(А)= 0,6
— вторым автоматом РВ2(А)=0,84
Вероятность того, что наугад взятая деталь окажется отличного качества, по формуле полной вероятности равна:
Искомая вероятность того, что взятая отличная деталь произведена первым автоматом, по формуле Бейеса равна:
