Определение: Множество A называется замкнутым относительно операции *, если результат применения этой операции к любым элементам множества A также является элементом множества A. (Если для любых a,bÎ A, a*bÎ A, то множество A замкнуто относительно операции *)
Для доказательства замкнутости множества относительно операции необходимо либо непосредственным перебором всех случаев убедиться в этом (пример 1б), либо провести рассуждение в общем виде (пример 2). Чтобы опровергнуть замкнутость, достаточно привести один пример, демонстрирующий нарушение замкнутости (пример 1а).
а) В качестве операции * возьмем арифметическую операцию сложения (+). Исследуем множество A на замкнутость относительно операции сложения (+):
0 + 1 = 1 Î A; 0 + 0 = 0 Î A; 1 + 0 = 1Î A; 1 + 1 = 2 Ï A.
Имеем, что в одном случае (1+1) результат применения операции (+) к элементам множества A не принадлежит множеству A. На основании этого делаем вывод о том, что множество A не является замкнутым относительно операции сложения.
б) Теперь в качестве операции * возьмем операцию умножения (×).
0×1 = 0 Î A; 0×0 = 0 Î A; 1×0 = 0 Î A; 1×1 = 1 Î A.
Для любых элементов множества A результат применения операции умножения также является элементом множества A. Следовательно, A замкнуто относительно операции умножения.
Исследовать на замкнутость относительно четырех арифметических операций множество целых чисел, кратных 7.
Z7 = <7n, n Î Z> – множество чисел, кратных семи.
Очевидно, что Z7 – незамкнуто относительно операции деления, так как, например,
7 Î Z7, 14 Î Z7, но 7 : 14 = ½ Ï Z7 .
Докажем замкнутость множества Z7 относительно операции сложения. Пусть m, k – произвольные целые числа, тогда 7mÎ Z7 и 7kÎ Z7. Рассмотрим сумму 7m + 7 k = 7∙(m + k).
Имеем mÎ Z, kÎ Z. Z – замкнуто относительно сложения Þ m + k = l – целое число, то есть l Î Z Þ 7l Î Z7.
Таким образом, для произвольных целых чисел m и k доказали, что (7m + 7 k) Î Z7. Следовательно, множество Z7 замкнуто относительно сложения. Аналогично доказывается замкнутость относительно операций вычитания и умножения (проделайте это самостоятельно).
Читайте также: Как проверить баланс на мтс тариф смарт 
1.Исследовать на замкнутость относительно арифметических операций сложения, вычитания, умножения и деления следующие множества:
а) множество четных чисел (иначе: множество целых чисел, делящихся на 2(Z2));
б) множество отрицательных целых чисел (Z – );
2.Исследовать на замкнутость относительно арифметических операций сложения, вычитания, умножения и деления следующие множества:
а) множество нечетных чисел;
б) множество натуральных чисел, последняя цифра которых нуль;
3.Исследовать на замкнутость относительно операции возведения в степень следующие множества:
а) множество N натуральных чисел;
б) множество Q рациональных чисел;
г) множество нечетных чисел.
4.Исследовать на замкнутость относительно операции возведения в степень следующие множества:
а) множество Zцелых чисел;
б) множество R действительных чисел;
в) множество четных чисел;
5.Пусть множество G, состоящее только из рациональных чисел, замкнуто относительно сложения.
а) Укажите какие-либо три числа, содержащиеся во множестве G, если известно, что оно содержит число 4.
б) Докажите, что множество G содержит число 2, если оно содержит числа 5 и 12.
6.Пусть множество K, состоящее только из целых чисел, замкнуто относительно вычитания.
а) Укажите какие-либо три числа, содержащиеся во множестве K, если известно, что оно содержит число 5.
б) Докажите, что множество K содержит число 6, если оно содержит числа 7 и 3.
7.Приведите пример множества, состоящего из натуральных чисел и незамкнутого относительно операции:
8.Приведите пример множества, содержащего число 4 и замкнутого относительно операций:
Страница № 074.
Учебник: Алгебра. 8 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 10-е изд., испр. — М.: Мнемозина, 2010. — 384 с.: ил.
211. Задайте путем перечисления элементов множество А целых значений х, удовлетворяющих условию:
Читайте также: Какие бывают антенны для телевизора
Учебник: Алгебра. 8 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 10-е изд., испр. — М.: Мнемозина, 2010. — 384 с.: ил.
Пусть Т — бинарная операция на множестве А и .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Подмножество В множества А называется замкнутым относительно операции Т» если для любых а, b из В элемент принадлежит В.
Отметим, что пустое подмножество замкнуто относительно любой операции .
Примеры. 1. Множество всех четных чисел замкнуто относительно сложения и умножения целых чисел.
2. Множество всех нечетных чисел замкнуто относительно умножения, но не замкнуто относительно сложения целых чисел.
3. Множество всех элементов (из А), регулярных относительно ассоциативной операции Т. замкнуто относительно Т.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.8. Множество всех элементов, симметризуемых относительно ассоциативной бинарной операции Т. замкнуто относительно Т.
Доказательство этого предложения непосредственно вытекает из теоремы 1.6.
Пусть В — непустое множество, , замкнутое относительно операции Т Тогда на В можно определить бинарную операцию Т следующим образом:
Операция Т называется ограничением операции Т множеством В, а операция Т — продолжением операции Т на множество А.
