В предыдущем разделе были введены операции умножения матриц на число и сложения матриц, в частности, для матриц-столбцов и матриц-строк . Матрицы-столбцы (матрицы-строки) будем называть далее просто столбцами (соответственно строками) и обозначать в этой главе прописными буквами. При помощи этих операций можно составлять некоторые алгебраические выражения. Напомним, что равными считаются столбцы одинаковых размеров с равными соответствующими элементами.
Столбец называется линейной комбинацией столбцов одинаковых размеров, если
где — некоторые числа. В этом случае говорят, что столбец разложен по столбцам , а числа называют коэффициентами разложения. Линейная комбинация с нулевыми коэффициентами называется тривиальной .
Если столбцы в (3.1) имеют вид
то матричному равенству (3.1) соответствуют поэлементные равенства
Аналогично формулируется определение линейной комбинации строк одинаковых размеров.
Набор столбцов одинаковых размеров называется системой столбцов .
Система из столбцов называется линейно зависимой, если существуют такие числа , не все равные нулю одновременно, что
Здесь и далее символом о обозначается нулевой столбец соответствующих размеров.
Система из столбцов называется линейно независимой , если равенство (3.2) возможно только при , т.е. когда линейная комбинация в левой части (3.2) тривиальная. Аналогичные определения формулируются и для строк (матриц-строк).
1. Один столбец тоже образует систему: при — линейно зависимую, а при линейно независимую.
2. Любая часть системы столбцов называется подсистемой .
Пример 3.1. Используя определение, установить линейную зависимость или линейную независимость систем столбцов
Решение. 1) Столбцы линейно зависимы, так как можно составить нетривиальную линейную комбинацию, например, с коэффициентами , которая равна нулевому столбцу: .
2) Столбцы линейно независимы, так как равенство
оказывается верным только при .
Свойства линейно зависимых и линейно независимых столбцов матриц
Понятия линейной зависимости и линейной независимости определяются для строк и столбцов одинаково. Поэтому свойства, связанные с этими понятиями, сформулированные для столбцов, разумеется, справедливы и для строк.
1. Если в систему столбцов входит нулевой столбец, то она линейно зависима.
2. Если в системе столбцов имеется два равных столбца, то она линейно зависима.
3. Если в системе столбцов имеется два пропорциональных столбца , то она линейно зависима.
4. Система из 1″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAC8AAAAQCAMAAACx1dbmAAAAM1BMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAADbQS4qAAAAEHRSTlMAiXFYMbEhAcBBoPDQoeAQ0I3cqgAAALZJREFUKM+VktsSwyAIRDWKiFf+/2uLSZvEhkxaXnTGs7KsGvN3UYrwC+ffa3D8zCMlxo+QlyfcNmg7v7A/t7VBux/jzkOe54lJURw8ZrHvop0UdM8P+3axGc89aqQ7XuxbjzybMkEUqPLAIPP6/u0g1OYUHnMpTQs02KLxq/0p0Y1O0al+RvqOCcv51CeZF1UeJBjhacoT6PJehTd9k/R7gdgPul7ei3itcWeYPp/sqv4fRhnzAuOaBpbDogV3AAAAAElFTkSuQmCC» /> столбцов линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из столбцов есть линейная комбинация остальных.
5. Любые столбцы, входящие в линейно независимую систему, образуют линейно независимую подсистему.
6. Система столбцов, содержащая линейно зависимую подсистему, линейно зависима.
7. Если система столбцов — линейно независима, а после присоединения к ней столбца — оказывается линейно зависимой, то столбец можно разложить по столбцам , и притом единственным образом, т.е. коэффициенты разложения находятся однозначно.
Докажем, например, последнее свойство. Так как система столбцов линейно зависима, то существуют числа не все равные 0, что
В этом равенстве . В самом деле, если , то
Значит, нетривиальная линейная комбинация столбцов равна нулевому столбцу, что противоречит линейной независимости системы . Следовательно, и тогда , т.е. столбец есть линейная комбинация столбцов . Осталось показать единственность такого представления. Предположим противное. Пусть имеется два разложения и , причем не все коэффициенты разложений соответственно равны между собой (например, ). Тогда из равенства
последовательно, линейная комбинация столбцов равна нулевому столбцу. Так как не все ее коэффициенты равны нулю (по крайней мере ), то эта комбинация нетривиальная, что противоречит условию линейной независимости столбцов . Полученное противоречие подтверждает единственность разложения.
Читайте также: Как закачать воздух в баллончиках
Пример 3.2. Доказать, что два ненулевых столбца и линейно зависимы тогда и только тогда, когда они пропорциональны, т.е. .
Решение. В самом деле, если столбцы и линейно зависимы, то существуют такие числа , не равные нулю одновременно, что . Причем в этом равенстве . Действительно, предположив, что , получим противоречие , поскольку и столбец — ненулевой. Значит, . Поэтому найдется число такое, что . Необходимость доказана.
Наоборот, если , то . Получили нетривиальную линейную комбинацию столбцов, равную нулевому столбцу. Значит, столбцы линейно зависимы.
Пример 3.3. Рассмотреть всевозможные системы, образованные из столбцов
Исследовать каждую систему на линейную зависимость.
Решение. Рассмотрим пять систем, содержащих по одному столбцу. Согласно пункту 1 замечаний 3.1: системы , линейно независимы, а система, состоящая из одного нулевого столбца , линейно зависима.
Рассмотрим системы, содержащие по два столбца:
– каждая из четырех систем и линейно зависима, так как содержит нулевой столбец (свойство 1);
– система линейно зависима, так как столбцы пропорциональны (свойство 3): ;
– каждая из пяти систем и линейно независима, так как столбцы непропорциональные (см. утверждение примера 3.2).
Рассмотрим системы, содержащие три столбца:
– каждая из шести систем и линейно зависима, так как содержит нулевой столбец (свойство 1);
– системы линейно зависимы, так как содержат линейно зависимую подсистему (свойство 6);
– системы и линейно зависимы, так как последний столбец линейно выражается через остальные (свойство 4): и соответственно.
Наконец, системы из четырех или из пяти столбцов линейно зависимы (по свойству 6).
Рассмотрим произвольную, необязательно квадратную, матрицу А размера mxn.
Ранг матрицы.
Понятие ранга матрицы связано с понятием линейной зависимости (независимости) строк (столбцов) матрицы. Рассмотрим это понятие для строк. Для столбцов – аналогично.
Обозначим стоки матрицы А:
Арифметические операции над строками матрицы (сложение, умножение на число) вводятся как операции, проводимые поэлементно: λеk=(λаk1,λаk2,…,λаkn);
Строка е называется линейной комбинацией строк е1, е2,…,еk, если она равна сумме произведений этих строк на произвольные действительные числа:
Строки е1, е2,…,еm называются линейно зависимыми, если существуют действительные числа λ1,λ2,…,λm, не все равные нулю, что линейная комбинация этих строк равна нулевой строке: λ1е1+λ2е2+…+λmеm=,где=(0,0,…,0) (1)
Если линейная комбинация равна нулю тогда и только тогда, когда все коэффициенты λi равны нулю (λ1=λ2=…=λm=0), то строки е1, е2,…,еm называются линейно независимыми.
Теорема 1. Для того, чтобы строки е1,е2,…,еm были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы одна из этих строк была линейной комбинацией остальных строк.
Доказательство. Необходимость. Пусть строки е1, е2,…,еm линейно зависимы. Пусть, для определенности в (1)λm≠0, тогда
или
Т.о. строка еm является линейной комбинацией остальных строк. Ч.т.д.
Достаточность. Пусть одна из строк, например еm, является линейной комбинацией остальных строк. Тогда найдутся числа такие, что выполняется равенство , которое можно переписать в виде ,
где хотя бы 1 из коэффициентов, (-1), не равен нулю. Т.е. строки линейно зависимы. Ч.т.д.
Читайте также: Простые фоторедакторы для компьютера
Определение. Минором k-го порядка матрицы А размера mxn называется определитель k-го порядка с элементами, лежащими на пересечении любых k строк и любых k столбцов матрицы А. (k≤min(m,n)). .
Пример. , миноры 1-го порядка: =, =;
миноры 2-го порядка: , 3-го порядка
У матрицы 3-го порядка 9 миноров 1-го порядка, 9 миноров 2-го порядка и 1 минор 3-го порядка (определитель этой матрицы).
Определение. Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы. Обозначение — rg A или r(A).
Свойства ранга матрицы.
1) ранг матрицы Anxm не превосходит меньшего из ее размеров, т.е.
2) r(A)=0 когда все элементы матрицы равны 0, т.е. А=0.
3) Для квадратной матрицы А n –го порядка r(A)=n , когда А невырожденная.
(Ранг диагональной матрицы равен количеству ее ненулевых диагональных элементов).
4) Если ранг матрицы равен r, то матрица имеет хотя бы один минор порядка r, не равный нулю, а все миноры больших порядков равны нулю.
Для рангов матрицы справедливы следующие соотношения:
5) r(AB)=r(A), если В — квадратная невырожденная матрица.
6) r(AB)≥r(A)+r(B)-n, где n-число столбцов матрицы А или строк матрицы В.
Определение. Ненулевой минор порядка r(A) называется базисным минором. (У матрицы А может быть несколько базисных миноров). Строки и столбцы, на пересечении которых стоит базисный минор, называются соответственно базисными строками и базисными столбцами.
Теорема 2 (о базисном миноре).Базисные строки (столбцы) линейно независимы. Любая строка (любой столбец) матрица А является линейной комбинацией базисных строк (столбцов).
Доказательство. (Для строк). Если бы базисные строки были линейно зависимы, то по теореме (1) одна из этих строк была бы линейной комбинацией других базисных строк, тогда, не изменяя величины базисного минора, можно вычесть из этой строки указанную линейную комбинацию и получить нулевую строку, а это противоречит тому, что базисный минор отличен от нуля. Т.о. базисные строки линейно независимы.
Докажем, что любая строка матрицы А является линейной комбинацией базисных строк. Т.к. при произвольных переменах строк (столбцов) определитель сохраняет свойство равенства нулю, то, не ограничивая общности, можно считать, что базисный минор находится в верхнем левом углу матрицы
А=,т.е. расположен на первых r строках и первых r столбцах. Пусть 1£j£n, 1£i£m. Покажем, что определитель (r+1)-го порядка
равен 0.
Если j£r или i£r, то этот определитель равен нулю, т.к. у него будет два одинаковых столбца или две одинаковых строки.
Если же j>r и i>r, то этот определитель является минором (r+1)-го порядка матрицы А. Т.к. ранг матрицы равен r, значит любой минор большего порядка равен 0.
Раскладывая его по элементам последнего (добавленного) столбца, получаем
Разделив последнее равенство на Aij, можем выразить элемент aij, как линейную комбинацию: , где .
Зафиксируем значение i (i>r) и получаем, что для любого j (j=1,2,…,n) элементы i-й строки ei линейно выражаются через элементы строк е1, е2,…,еr, т.е. i-я строка является линейной комбинацией базисных строк: . Ч.т.д.
Теорема 3. (необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя).Для того, чтобы определитель n-го порядка D был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы его строки (столбцы) были линейно зависимы.
Доказательство (с.40). Необходимость. Если определитель n-го порядка D равен нулю, то базисный минор его матрицы имеет порядок r
Читайте также: Посудомоечная машина siemens sr64e003ru инструкция
Дата добавления: 2014-10-17 ; Просмотров: 2555 ; Нарушение авторских прав?
Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет
Каждую строку матрицы А обозначим еi = (ai1 ai2 …, ain) (например,
е1 = (a11 a12 …, a1n), е2 = (a21 a22 …, a2n) и т.д.). Каждая из них представляет собой матрицу-строку, которую можно умножить на число или сложить с другой строкой по общим правилам действий с матрицами.
Линейной комбинацией строк el, e2. ek называют сумму произведений этих строк на произвольные действительные числа:
e = llel + l2e2 +. + lkek, где ll, l2. lk — произвольные числа (коэффициенты линейной комбинации).
Строки матрицы el, e2. em называются линейно зависимыми, если существуют такие числа ll, l2. lm, не равные одновременно нулю, что линейная комбинация строк матрицы равна нулевой строке:
llel + l2e2 +. + lmem = 0, где 0 = (0 0. 0).
Линейная зависимость строк матрицы означает, что хотя бы одна строка матрицы является линейной комбинацией остальных. Действительно, пусть для определенности последний коэффициент lm ¹ 0. Тогда, разделив обе части равенства на lm, получим выражение для последней строки, как линейной комбинации остальных строк:
em = (ll/lm)el + (l2/lm )e2 +. + (lm-1/lm)em-1.
Если линейная комбинация строк равна нулю тогда и только тогда, когда все коэффициенты равны нулю, т.е. llel + l2e2 +. + lmem = 0 Û lk = 0 «k, то строки называют линейно независимыми.
Теорема о ранге матрицы. Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк или столбцов, через которые можно линейно выразить все остальные ее строки или столбцы.
Докажем эту теорему. Пусть матрица А размера m х n имеет ранг r (r(А) £ min ). Следовательно, существует отличный от нуля минор r-го порядка. Всякий такой минор будем называть базисным. Пусть для определенности это минор
Строки этого минора также будем называть базисными.
Докажем, что тогда строки матрицы el, e2. er линейно независимы. Предположим противное, т.е. одна из этих строк, например r-я, является линейной комбинацией остальных: er = llel + l2e2 +. + lr-1er-1 = 0. Тогда, если вычесть из элементов r-й строки элементы 1-й строки, умноженные на ll, элементы 2-й строки, умноженные на l2, и т.д., наконец, элементы (r-1)-й строки, умноженные на lr-1, то r-я строка станет нулевой. При этом по свойствам определителя вышеприведенный определитель не должен измениться, и при этом должен быть равен нулю. Получено противоречие, линейная независимость строк доказана.
Теперь докажем, что любые (r+1) строк матрицы линейно зависимы, т.е. любую строку можно выразить через базисные.
Дополним рассмотренный ранее минор еще одной строкой (i-й) и еще одним столбцом (j-м). В результате получим минор (r+1)-го порядка, который по определению ранга равен нулю:
Разложим его по элементам j-го столбца 
. Здесь последнее алгебраическое дополнение Аij совпадает с базисным минором D ¹ 0 Þ Аij ¹ 0. Поэтому можно разделить обе части последнего равенства на Аij. Это позволит выразить из него элемент: 
.
Если зафиксировать номер строки (i), то получим, что для любого j элементы i-й строки линейно выражаются через элементы базисных строк: 
, т.е. любая строка матрицы является линейной комбинацией базисных.
Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:
Лучшие изречения: Для студентов недели бывают четные, нечетные и зачетные. 9908 — 
| 7692 — 
или читать все.
