Примеры решения задач «Логические функции»
№1.
Запишите в виде логической формулы следующие высказывания:
1. Если Иванов здоров и богат, то он здоров.
2. Число является простым, если оно делится только на единицу и само на себя.
Решение:
1.Нам дано сложное составное высказывание. Выделим из него простые высказывания:
А = «Иванов здоров»
В = «Иванов богат»
Запишем высказывание в виде логической формулы A/B=>A
2. Нам дано сложное составное высказывание. Выделим из него простые высказывания:
А = «Число является простым»
В = «Число делится только на единицу»
С=«Число делится на само себя»
Запишем высказывание в виде логической формулы B/C=>A
№2.
Для какого имени истинно высказывание:
¬ (Первая буква имени гласная => Четвертая буква имени согласная)?
1) Елена 2) Вадим 3) Антон 4) Федор
Решение:
По условию задачи функция F(A, B) истинна, следовательно, отрицание этой функции – ложно, т.е. высказывание (A => B) – ложно. Полученное высказывание является импликацией и ложно только в том случае, когда выражение А истинно, а В — ложно (см. табл. истинности импликации). Следовательно, среди предложенных ответов следует искать тот, в котором первая буква имени гласная и четвертая буква имени также гласная. Этому условию удовлетворяет только имя АНТОН.
Ответ: 3
№ 3.
Для какого числа X истинно высказывание X>1 / ((X (X
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4
Решение:
По условию задачи F(A, B) истинна, следовательно, выражения А и В тоже должны быть истинны (см.табл.истинности конъюнкции), т.е.
Рассмотрим предложенные ответы, подставляя значения Х в неравенства и проверяя истинность полученных высказываний:
Ответ 1): 1 > 1 – ложь, что противоречит первому условию;
Ответ 2): 2 > 1 – истина, первое условие совпадает,
(2 (2 => (истина), что является истиной (см. табл. истинности импликации). Т. е. второе условие также совпадает;
Ответ 3): 3 > 1 – истина, первое условие совпадает,
(3 (3 => (ложь), что является ложью (см. табл. истинности импликации), это противоречит второму условию;
Ответ 4): 4 > 1 – истина, первое условие совпадает,
(4 (4 => (ложь), что является ложью (см. табл. истинности импликации), это противоречит второму условию
Высказывание – это повествовательное предложение, относительно которого имеет смысл утверждать, что оно является истинным либо ложным. Таким образом, отличительной особенностью высказываний является возможность принимать одно из двух значений: истина – 1, ложь – 0. Эти значения называются истинностными значениями.
Например, высказывание «Москва — столица Российской Федерации» является истинным, а высказывание «Волга впадает в Черное море» — ложным.
Примеры высказываний:
1. Москва – столица России.
2. Число 27 является простым.
3. Волга впадает в Каспийское море.
Высказывания 1 и 3 являются истинными. Высказывание 2 – ложным , потому что число 27 составное 27=3*3*3.
Следующие предложения высказываниями не являются:
· Давай пойдем гулять..
Итак, отличительным признаком высказывания является свойство быть истинным или ложным, последние четыре предложения этим свойством не обладают.
Читайте также: Как написать электронную почту на авито
С помощью высказываний устанавливаются свойства, взаимосвязи между объектами. Высказывание истинно, если оно адекватно отображает эту связь, в противном случае оно ложно.
Примеры высказываний:
1. Сегодня светит солнце.
В алгебре логики логические связки и соответствующие им логические операции имеют специальные названия и обозначаются следующим образом:
Логическая связкаНазвание логической операцииОбозначениянеОтрицание, инверсияØ, и, а, ноКонъюнкция, логическое умножение&, • , ÙилиДизъюнкция, логическое сложениеV, +если . тоИмпликация, следованиеÞ,®тогда и только тогда, когдаэквивалентность, эквиваленция, равнозначность.
Если несколько простых высказываний объединены в одно с помощью логических операций, то такое высказывание называется сложным. Сложное высказываниеСоставляющие простые высказыванияФорма сложного высказыванияЕ = Идёт дождь, а у меня нет зонтаА=Идёт дождь В = У меня есть зонтЕ = А L ØВЕ = Когда живётся весело, то и работа споритсяА = Живётся весело В = Работа споритсяЕ = А Þ ВЕ = Идёт налево — песнь заводит, направо — сказку говоритА = Идёт налево В = Идёт направо С = Песнь заводит D = Сказку говоритE=(A Þ C)V(B Þ D)
Мы всегда исходим из того, что для любого простого высказывания определено (известно), является ли оно истинным или ложным. По форме сложного высказывания и по таблицам истинности входящих в него логических операций всегда можно определить, истинное оно или ложное.
Реальную задачу, как правило, мы получаем в виде текста на естественном языке. И прежде, чем приступить к ее решению, мы должны выделить простые высказывания, отношения (связи) между ними и перевести их на язык формул (формализовать условие задачи, определить форму). Разберём примеры формализации сложных высказываний.
Примеры записи сложных высказываний с помощью обозначения логических связок:
1. «Быть иль не быть — вот в чем вопрос.» (В. Шекспир) А V A В
2. «Если хочешь быть красивым, поступи в гусары.» (К. Прутков) А => В
Пример 1.
Дано сложное высказывание: «Если выглянет солнце, то станет тепло». Требуется записать его в виде логической формулы.
Решение. Обозначим через А простое высказывание «выглянет солнце», а через В — «станет тепло». Тогда логической формулой этого сложного высказывания будет импликация: A ® B.
Пример 2.
1. Даны высказывания
A – Идет дождь.
B – Прогулка отменяется.
C – Я вымокну.
D – Я останусь дома.
а) Запишите сложное высказывание на языке алгебры логики:
Я не вымокну, если на улице нет дождя или если прогулка отменяется и я останусь дома.
б) Переведите следующее сложное высказывание на русский язык:
А и (не В или не D) → C
Решение:
а) Первая часть предложения «Я не вымокну» соответствует высказыванию D, «на улице нет дождя» соответствует отрицанию высказывания А, «прогулка отменяется» – событию В, «я останусь дома» – событию С.
Учтем связки, которые соответствуют логическим операциям: если. то.. – импликация, или – дизъюнкция, и – конъюнкция.
Читайте также: Как переключить канал без пульта триколор тв
Тогда получим следующую логическую формулу:
б) Подставим вместо высказываний A, B, D, C соответствующие им части предложения, взяв вместо D и B их отрицания. Логическая связка импликация соответствует – если, то.
Согласовывая все части предложения получаем: Идет дождь, и если прогулка не отменяется или я не останусь дома, то я вымокну.
правила составления логических выражений
Логическая переменная – это простое высказывание, содержащее только одну мысль . Ее символическое обозначение – латинская буква (например, A , B , X , Y и т.д.). Значением логической переменной могут быть только константы ИСТИНА ( 1 ) и ЛОЖЬ ( 0 ). На основании простых высказываний могут быть построены составные высказывания .
Логическая функция — составное высказывание, которое содержит несколько простых мыслей , соединенных между собой с помощью логических операций.
Ее символическое обозначение – F ( A , B , …) .
Логические операции – логическое действие.
1. Проанализируем составное высказывание » Если я куплю яблоки или абрикосы, то приготовлю фруктовый пирог » .
Обозначим буквой A высказывание: » Купить яблоки » , буквой B — высказывание: » Купить абрикосы » , буквой C — высказывание: » Испечь пирог » .
2. Запишем высказывание в виде логического выражения , высказывание » Если я куплю яблоки или абрикосы, то приготовлю фруктовый пирог » формализуется в виде формулы: F= (A v B)=>C .
Записывать в виде логического выражения следующее высказывание: « Летом Петя поедет в деревню и, если будет хорошая погода, то он пойдет на рыбалку ».
1. Проанализируем составное высказывание . Оно состоит из следующих простых высказываний: « Петя поедет в деревню », « Будет хорошая погода », « Петя пойдет на рыбалку ». Обозначим их через логические переменные:
А = Петя поедет в деревню;
В = Будет хорошая погода;
С = Петя пойдет на рыбалку.
2. Запишем высказывание в виде логического выражения , учитывая порядок действий. Если необходимо, расставим скобки: F=A&(B=>C) .
Есть два простых высказывания: А – « Число 10 – четное »; В – « Волк – травоядное животное ». Составьте из них все возможные составные высказывания и определите их истинность.
Запишите следующие высказывания в виде логических выражений.
1. Число 17 нечетное и двузначное.
2. Неверно, что корова — хищное животное.
3. На уроке физики ученики выполняли лабораторную работу и сообщали результаты исследований учителю.
4. Если число делится на 2, то оно — четное.
5. Переходи улицу только на зеленый свет.
6. Если Маша — сестра Саши, то Саша- брат Маши.
7. Если компьютер включен, то можно на нем работать.
8. Водительские права можно получить, только когда исполнится 18 лет.
9. Компьютер выполняет вычисления, если он включен.
10. Ты можешь купить в магазине продукты, если у тебя есть деньги.
11. Тише едешь — дальше будешь.
12*. На уроке информатики необходимо соблюдать особые правила поведения.
13*. При замерзании воды выделяется тепло.
Читайте также: Яндекс навигатор вылетает при запуске на iphone
Составьте и запишите истинные сложные высказывания из простых с использованием логических операций.
- Неверно, что 10> Y > 5 и Z .
- Z является min ( Z , Y ).
- А является max ( A , B , C ).
- Любое из чисел X , Y , Z положительно.
- Любое из чисел P , T , R отрицательно.
- Хотя бы одно из чисел K , L , M не отрицательно.
- Хотя бы одно из чисел X , Y , Z не меньше 12.
- Все числа A , B , C равны 12.
- Если X делится на 9, то X делится и на 3.
- Если X делится на 2, то оно четное.
Найдите значения логических выражений:
F 1 = (0 v 0) v ( 1 v 1 ).
F 2 = ( 1 v 1 ) v ( 1 v 0 ).
F 4 = ¬ 1 & (1 v 1) v ( ¬ 0&1).
F 5 = ( ¬ 1 v 1) & (1 v ¬ 1) & ( ¬ 1 v 0).
Даны высказывания: А — » Петя едет в автобусе «, В — » Петя читает книгу «, С — » Петя смотрит в окно «.
Составить формулы алгебры логики сложных высказываний:
1) «Неверно, что Петя едет в автобусе и читает книгу».
2) «Неверно, что Петя едет в автобусе, читает книгу или смотрит в окно».
3) «Петя не едет в автобусе, но при этом читает книгу или не смотрит в окно».
4) «Петя не едет в автобусе, не смотрит в окно – он читает книгу».
a) Запишите в виде формулы алгебры логики высказывание: «Если Алеша решит задачу, то Володя решит ее; если же Алеша не решит задачу, то об успехе Володи ничего определенного сказать нельзя – он может решить, а может не решить».
b) Запишите в виде формулы алгебры логики высказывание: «Если Ваня и Алеша проголосуют «за», то Сережа поступит так же. В случае противоположного мнения у Вани и Алеши о мнении Сережи ничего определенного сказать нельзя».
Уровень знания: выучить основные определения, знать обозначения.
Задача 1 : Из двух простых высказываний постройте сложное высказывание, используя логические связки «И», «ИЛИ». Запишите логические высказывания с помощью логических операций и определите их истинность.
а) Андрей старше Светы. Наташа старше Светы.
б) Один десятый класс идет на экскурсию в музей. Второй десятый класс идет в театр.
в) На полке стоят учебники. На полке стоят справочники.
г) Часть детей — девочки. Остальные — мальчики.
Задача 2 : Для логических выражений сформулируйте составные высказывания на обычном языке:
Задача 3 : Какое логическое выражение соответствует высказыванию: « Точка X принадлежит интервалу (А; В) ».
Задача 4: Запишите на языке алгебры логики следующие высказывания:
а) Я поеду в Киев и если встречу там друзей, то мы интересно проведем время.
б) Если я поеду в Киев и встречу там друзей, то мы интересно проведем время.
в) Неверно, что если погода пасмурная, то идет дождь тогда и только тогда, когда нет ветра.
Задача 5* : приведите примеры составных высказываний из приведенных ниже школьных предметов и запишите их с помощью логических операций: биология, литература, география, математика, информатика, история, русский язык.
